1)концы отрезка ав лежат по разные стороны относительно плоскости альфа. через точки а, в и середину отрезка ав (точка м) проведены параллельные прямые , пересекающие плоскость альфа в точка а1, в1, м1. вычислите мм1 если аа1=6 см, вв1=4см. 2)катет вс прямоугольного треугольника авс лежит в плоскости альфа. вершина а удалена от неё на 2 корень из 2-х дм. вс=ас=4 дм. вычислите угол между плоскостью альфа и прямой: 1)ас; 2)ав 3)ребро куба авсda1b1c1d1 равно 24 см. точка к-середина ребра вв1. через к проведена плоскость альфа, параллельная плоскости вс1а1. 1)постройте отрезок,который лежит в плоскости альфа и в грани авв1а1; 2)постройте сечение куба плоскостью альфа.; 3)вычислите площадь сечения.

1. Пусть АВ ∩ α = О.
Прямые АА₁, ВВ₁, ММ₁ лежат в одной плоскости, которая пересекает плоскость α по прямой А₁В₁. Т.е. точки А₁, О, М₁, В₁ лежат на одной прямой.
ΔВВ₁О подобен ΔАА₁О по двум углам (углы при вершине О равны как вертикальные, ∠АА₁О = ∠ВВ₁О как накрест лежащие при пересечении АА₁║ВВ₁ секущей А₁В₁), значит
ВО : ОА = ВВ₁ : АА₁ = 4 : 6 = 2 : 3
ОА = 3/5 АВ
АМ = 1/2 АВ
ОМ = ОА - АМ = 6/10 АВ - 5/10 АВ = 1/10 АВ.

МО/АО = 1/10 / (3/5) = 1/6

ΔОММ₁ подобен ΔОАА₁ по двум углам (угол О общий, ∠ОММ₁ = ∠ОАА₁ как соответственные при пересечении ММ₁║АА₁ секущей АО), значит
ММ₁ : АА₁ = МО : АО = 1 : 6
ММ₁ = АА₁/6 = 1 см.

2. Проведем АН⊥α. Тогда АН = 2√2 дм, и СН - проекция АС на α, ВН - проекция АВ на α.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
∠(АС; α) = ∠АСН
∠(АВ; α) = ∠АВН
ΔАСН: ∠АНС = 90°
             sin∠ACH = AH/AC = 2√2/4 = √2/2
∠ACH = 45°.

АВ = 4√2 дм как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника.

ΔАВН: ∠АНВ = 90°,
             sin∠ABH = AH/AB = 2√2/(4√2) = 1/2
∠ABH = 30°

3. Параллельные плоскости пересекают третью плоскость по параллельным прямым.
1) Плоскость ВС₁А₁ и параллельная ей плоскость α пересекают плоскость грани АА₁В₁В по параллельным прямым. Поэтому в этой грани строим среднюю линию треугольника ВА₁В₁ - KL, которая параллельна ВА₁.
KL - это отрезок, который лежит в плоскости α и в грани АА₁В₁В.
2) Проведем среднюю линию треугольника ВВ₁С₁ - КМ, она параллельна  ВС₁.
KLM - искомое сечение. Оно проходит через точку К и параллельно ВС₁А₁ (так как две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости).
3) ВС₁А₁ - равносторонний треугольник, так как его стороны являются диагоналями равных квадратов.
ВС₁ = С₁А₁ = А₁В₁ = 24√2 см
Sbc₁a₁ = BC₁²√3/4 = 576·2·√3/4 = 288√3 см²
ΔKLM подобен ΔВС₁А₁ по трем сторонам (стороны треугольника KLM в два раза меньше соответствующих сторон треугольника ВС₁А₁ как средние линии соответствующих треугольников).
k = 1/2.
Sklm = Sbc₁a₁ · k² = 288√3/4 = 72√3 см²