1. Используя рисунок, выразите отрезки AС и АD через тригонометрические функции углов α и β                                                                                                                                                    [2]



2. Две стороны прямоугольного треугольника равны: 6 см и 8 см. Найдите третью сторону треугольника. Рассмотрите все возможные случаи.                                                     [3]

3. В прямоугольном треугольнике cos α=45. Вычислите sin α, tg α и ctg α.             [4]

4. В равнобедренной трапеции ABCD сторона ВС равна 5 см, высота СЕ равна 3√3 , а боковая сторона образует с основанием АD угол   60°. Найти основание AD трапеции ABCD.        [5]      

                           

5. Найти углы ромба ABCD, если его диагонали АС и BD  равны 4√3 м и 4 м.    

​

1. Чтобы выразить отрезки AC и AD через тригонометрические функции углов α и β, рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Заметим, что угол ACB равен α, а угол BAD равен β.

Отрезок AC можно выразить с помощью функций синус и косинус. Обратимся к прямоугольному треугольнику ABC.

Согласно теореме Пифагора, гипотенуза BC равна √(AB^2 + AC^2). В данном случае, AB = AD, поэтому BC = √(AD^2 + AC^2).

Также, из прямоугольного треугольника ABC, следует, что синус угла α равен отношению противоположного катета AC к гипотенузе BC.

Итак, sin α = AC / BC.

Учитывая предыдущие равенства, получаем:

sin α = AC / √(AD^2 + AC^2).

Теперь рассмотрим отрезок AD. Он может быть выражен с помощью функций тангенс и котангенс.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Из него следует, что тангенс угла β равен отношению противоположного катета AD к прилежащему катету AB. То есть,

tg β = AD / AB.

Учитывая, что AB = AC, получаем:

tg β = AD / AC.

Отсюда можно выразить отрезок AD:

AD = AC * tg β.

Таким образом, отрезки AC и AD можно выразить следующим образом:

AC = BC * sin α,
AD = AC * tg β.

2. По условию задачи, даны две стороны прямоугольного треугольника: 6 см и 8 см. Чтобы найти третью сторону треугольника, можно воспользоваться теоремой Пифагора.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае, гипотенуза равна третьей стороне треугольника.

Итак, a^2 + b^2 = c^2, где a и b - катеты (известные стороны треугольника), c - гипотенуза (искомая сторона треугольника).

Подставим известные значения: a = 6 см и b = 8 см.

6^2 + 8^2 = c^2,
36 + 64 = c^2,
100 = c^2.

Для нахождения третьей стороны треугольника нужно найти квадратный корень из полученного значения:

c = √100,
c = 10 см.

Таким образом, третья сторона треугольника равна 10 см.

3. В прямоугольном треугольнике cos α = 45. Найдем sin α, tg α и ctg α.

Известно, что угол α является одним из углов прямоугольного треугольника, а cos α равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Таким образом, cos α = AC / BC.

Подставим известное значение: cos α = 45.

AC / BC = 45.

Так как синус угла α равен отношению противоположного катета AC к гипотенузе BC, то sin α = BC / AC.

Из предыдущего равенства получаем:

sin α = 1 / cos α,
sin α = 1 / 45.

Тангенс угла α равен отношению противоположного катета AC к прилежащему катету BC. То есть:

tg α = AC / BC,
tg α = 45.

Котангенс угла α равен обратному значению тангенса. То есть:

ctg α = 1 / tg α,
ctg α = 1 / 45.

Таким образом, sin α = 1 / 45, tg α = 45 и ctg α = 1 / 45.

4. В равнобедренной трапеции ABCD сторона ВС равна 5 см, высота СЕ равна 3√3, а боковая сторона образует с основанием AD угол 60°. Найдем основание AD трапеции ABCD.

Поскольку трапеция ABCD является равнобедренной, то боковые стороны BC и AD равны. То есть, BC = AD.

Рассмотрим треугольник BCE. Угол BCD в этом треугольнике равен 180° - 60° = 120°.

Так как треугольник BCE является равносторонним (ведь углы потому и равны), то CE = 3√3 см (высота дана в условии).

Известно также, что в равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому BE = CE = 3√3 см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDA. Известно, что основание BC равно 5 см, а угол между основанием BC и боковой стороной AD равен 60°.

Таким образом, можно применить функцию косинуса для нахождения значения боковой стороны AD:

cos 60° = BC / AD,
1/2 = 5 / AD.

Теперь найдем значение AD:

AD = (5 / (1/2)),
AD = 5 * 2,
AD = 10 см.

Таким образом, основание AD трапеции ABCD равно 10 см.

5. Чтобы найти углы ромба ABCD, нас интересуют значения углов OAC и OCD, где O - центр ромба (пересечение диагоналей).

Известно, что диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом, и их длины равны 4√3 и 4 метра соответственно.

Так как углы вокруг центра ромба в сумме дают 360°, то в данном случае интересуют нам два угла OAC и OCD.

Поскольку диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом, то углы OAC и OCD равны между собой и каждый из них равен половине угла прямоугольного треугольника AOC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOC. Длины катетов равны 2√3 и 2 метра, так как диагональ AC равна 4√3 и 4 метра (половина длины диагонали).

Теперь можно найти значения углов OAC и OCD.