1.Докажите равенство треугольников ABF и CBD (рис. 42), если AB = BC и BF = BD. 2.Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 33 см, а основание на 3 см меньше боковой стороны.
3.На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки D и E так, что ∠ACD = ∠CAE. Докажи те, что AD = CE.
4.Известно, что EK = FK и EC = FC (рис. 43). Докажите, что ∠EMK = ∠FMK.
5.Серединный перпендикуляр стороны AB треугольника ABC пересекает его сторону AC в точке M. Найдите сторону AC треугольника ABC, если BC = 8 см, а периметр треугольника MBC равен 25 см.

1. Чтобы доказать, что треугольники ABF и CBD равны, нам нужно установить, что их стороны и углы соответственно равны.
Из условия известно, что AB = BC и BF = BD.

a) Стороны треугольников: по условию AB = BC, поэтому сторону AB можно заменить на сторону BC в треугольнике ABF. Получаем, что ABF и BCF представляют собой два равных треугольника, так как у них равны стороны AB = BC и BF = BD (по условию).

b) Углы треугольников: так как сторона ABF тоже равна стороне BCF, можно сказать, что угол ABF равен углу BCF. Также, так как BF = BD, можно сказать, что угол ABF равен углу CBD. Получается, что углы ABF и CBD равны, а значит треугольники ABF и CBD подобны.

Таким образом, мы доказали, что треугольники ABF и CBD равны.

2. Пусть x - длина основания равнобедренного треугольника, а y - длина боковой стороны.
У нас есть два условия: периметр равнобедренного треугольника равен 33 см и основание на 3 см меньше боковой стороны.

Периметр равнобедренного треугольника вычисляется по формуле: П = x + 2y.
Согласно условию, П = 33. Подставляем это значение в формулу:
33 = x + 2y.

Также, условие говорит нам, что основание на 3 см меньше боковой стороны:
x = y - 3.

Мы можем решить эту систему уравнений с помощью метода подстановки или метода складывания уравнений.

Подставим значение x из второго уравнения в первое уравнение:
33 = (y - 3) + 2y.

33 = 3y - 3.

Добавляем 3 к обеим сторонам уравнения:
36 = 3y.

Делим обе стороны на 3:
12 = y.

Теперь, подставляем значение y второго уравнения:
x = 12 - 3,
x = 9.

Таким образом, длина основания равнобедренного треугольника равна 9 см, а длина боковой стороны равна 12 см.

3. Чтобы доказать, что AD = CE, нам нужно установить, что соответствующие стороны треугольников ABC и ACD равны.

Из условия известно, что ∠ACD = ∠CAE.

Так как треугольник ABC равнобедренный, AB = BC.

Рассмотрим треугольники ABC и ACD. У них есть общая сторона AC и уголы ∠ACD и ∠CAE, которые равны по условию.

Также из треугольников ABC и ACD мы знаем, что AB = AC и ∠CAB = ∠CAD, так как треугольник ABC равнобедренный.

Поэтому, по признаку равенства треугольников ASA (по стороне, углу, стороне), мы можем заключить, что треугольники ABC и ACD равны. А значит, AD = CE.

4. Чтобы доказать, что ∠EMK = ∠FMK, нам нужно установить, что вертикальные углы EMK и FMK равны.

Из условия задачи известно, что EK = FK и EC = FC.

Рассмотрим треугольники EKC и FKC. У них есть общая сторона KC и стороны EK = FK, а также EC = FC.

Из этих фактов следует, что два треугольника EKC и FKC равны по стороне-стороне-стороне (SSS).

Следовательно, углы ∠EMK и ∠FMK, которые являются вертикальными углами, равны.

Таким образом, мы доказали, что ∠EMK = ∠FMK.

5. Мы знаем, что BC = 8 см, а периметр треугольника MBC равен 25 см.

Периметр треугольника вычисляется по формуле: П = AB + BC + AC.

Заменяем значения сторон треугольника MBC:
25 = AC + 8 + AC.

Упрощаем уравнение:
25 = 2AC + 8.

Вычитаем 8 из обеих сторон уравнения:
17 = 2AC.

Делим обе стороны на 2:
8.5 = AC.

Таким образом, сторона AC треугольника ABC равна 8.5 см.