1. докажите что треугольник авс равнобедренный если у него высота bd является биссектрисой
2. отрезки равной длины ab и cd пресекаются в точке o так, что ао = od.
докажите равенство треугольников abc и dcb.

Объяснение:

Дано:

∆ ABC,

CK — медиана и биссектриса

Доказать:

∆ ABC — равнобедренный.

Проведем анализ задачи:

На основе каких данных можно утверждать, что треугольник — равнобедренный? Если у него две стороны равны либо два угла равны. Значит, нам нужно доказать либо равенство сторон AC и BC, либо равенство углов A и B. Любое из этих равенств следует из равенства треугольников.

В треугольниках AKC и BKC биссектриса CK образует равные углы ACK и BCK, медиана CK — равные отрезки AK и BK. Сторона CK — общая.

Что мы имеем? Две стороны, но нет угла между ними. Ни к одной из сторон нет двух прилежащих углов. Признаки равенства треугольников применить не можем.

В таком случае придется выполнять дополнительные построения.

На луче CK отложим отрезок KE так, чтобы KE=CK, и точки A и E соединим отрезком. Получили еще один треугольник AKE.

Мы можем доказать, что этот треугольник равен треугольнику BKC (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует равенство сторон AE и BC и углов AEK и BCK.

Получается, что в треугольнике ACE имеется два равных угла AEK и ACK. Поэтому он — равнобедренный, откуда легко доказывается и равенство сторон AC и ВС. Осталось записать доказательство.

Доказательство:

На луче CK отложим отрезок KE, KE=CK.

Рассмотрим треугольники AKE и BKC:

1) AK=BK (так как CK — медиана по условию)

2) KE=CK (по построению)

3) ∠AKE=∠BKC (как вертикальные).

Следовательно, ∆ AKE=∆ BKC (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AE=BC и соответствующих углов: ∠AEK=∠BCK.

По условию, ∠BCK=∠AСK. Поэтому ∠AEK=∠AСK.

Таким образом получили, что в треугольнике ACE два угла равны. Значит, ∆ ACE — равнобедренный с основанием CE (по признаку). Следовательно, его боковые с�ороны равны: AE=AC.

А поскольку уже доказали, что AE=BC, то и AС=BС. Поэтому ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению).

Неограниченные возможности для обучения без рекламы со Знаниями Плюс

Подробнее - на -