1. Дано: DЕ||BC, МР = 8, AB = 12, AE = 6 Найти: а) AC; б) DЕ : BC; в) SADE : SABC. 2. В ΔАВС АВ = 6 см, ВС =9см, ∠В = 80°, а в ΔMNK MN =12см, NK = 18 см, ∠N = 80°. Найдите сторону АС и угол С треугольника АВС, если МК =14 см, ∠K =70°.
3. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что ∠ACO = ∠BDO, АО : ОВ = 3:4. Найдите периметр треугольника АСО, если периметр треугольника BOD равен 20 см.
4* В трапеции ABCD (AD и ВС основания) диагонали пересекаются в точке О, SAOD= 28 см2, SBOC = 7 см2. Найдите меньшее основание трапеции, если большее из них равно 12 см.

1. Дано: DЕ||BC, МР = 8, AB = 12, AE = 6
а) Чтобы найти AC, нам нужно использовать соотношение DE||BC. Как у нас есть параллельные прямые, мы можем использовать подобие треугольников.
Заметим, что треугольник АЕС подобен треугольнику АВС по признаку угол-угол (AA).
Получаем соотношение длин сторон: AE/AB = AC/AC.
Подставляем известные значения: 6/12 = AC/AC.
Упрощаем: 1/2 = AC/AC.
Можно заметить, что AC может быть любой длины, однако соотношение сторон всегда останется таким же.
Таким образом, ответ: а) AC может принимать любое значение.

б) Чтобы найти DE:BC, мы можем рассмотреть треугольники АСЕ и ВСB, так как у них есть параллельные стороны и две пары соответствующих углов равны.
Мы можем записать соотношение длин сторон для этих треугольников: AE/BC = CE/AB.
Подставляем известные значения: 6/BC = CE/12.
Умножаем обе части уравнения на BC: 6 = (CE/12) * BC.
По свойству параллельных прямых, у которых есть две пары соответствующих углов, можно сделать вывод, что AE/BC = DE/BC.
Подставляем известные значения: 6/BC = DE/BC.
Упрощаем выражение: 6 = DE.
Ответ: б) DE : BC = 6 : 1.

в) Чтобы найти SADE : SABC, мы можем использовать соотношение площадей прямоугольных треугольников.
Заметим, что треугольники АЕС и ABC подобны по признаку AA, так как у них есть две пары равных углов.
Получаем соотношения длин сторон: AE/AB = AC/AC.
Подставляем известные значения: 6/12 = AC/AC.
Упрощаем: 1/2 = AC/AC.
Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле S = (1/2) * основание * высота.
Таким образом, площадь треугольника SABC равна (1/2) * AB * AC.
Площадь треугольника SADE равна (1/2) * AE * DE.
Делаем подстановку: SABC = (1/2) * 12 * AC и SADE = (1/2) * 6 * DE.
Подставляем полученные значения в искомое соотношение: SADE : SABC = ((1/2) * 6 * DE) / ((1/2) * 12 * AC).
Упрощаем выражение: SADE : SABC = DE / (AC/2).
Ответ: в) SADE : SABC = DE : (AC/2).

2. В ΔАВС АВ = 6 см, ВС = 9 см, ∠В = 80°,
в ΔMNK MN = 12 см, NK = 18 см, ∠N = 80°.
а) Чтобы найти сторону АС, мы можем использовать закон синусов для треугольника АВС.
Формула для стороны АС: AC = √(AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(∠B)).
Подставляем известные значения: AC = √(6² + 9² - 2 * 6 * 9 * cos(80°)).
Упрощаем: AC = √(36 + 81 - 108 * cos(80°)).
Вводим серийное приближение для cos(80°): cos(80°) ≈ -0,17365.
Подставляем приближенное значение: AC = √(36 + 81 - 108 * (-0,17365)).
Упрощаем и вычисляем: AC ≈ √(36 + 81 + 18,7896) ≈ √(135 + 18,7896) ≈ √(153,7896) ≈ 12,40669.
Ответ: а) AC ≈ 12,40669 см.

б) Чтобы найти угол С, мы можем использовать закон косинусов для треугольника АВС.
Формула для угла С: cos(∠C) = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC).
Подставляем известные значения: cos(∠C) = (6² + 9² - 12,40669²) / (2 * 6 * 9).
Упрощаем: cos(∠C) = (36 + 81 - 153,7896) / 108.
Упрощаем и вычисляем: cos(∠C) ≈ -0,07902.
Находим угол С, используя функцию arccos: ∠C ≈ arccos(-0,07902) ≈ 91,60026°.
Ответ: б) ∠C ≈ 91,60026°.

3. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что ∠ACO = ∠BDO, АО : ОВ = 3:4.
Первым шагом найдем соотношение длин отрезков ОА и ОВ.
По условию АО : ОВ = 3:4, что значит, что длина отрезка ОА в 3 раза больше, чем длина отрезка ОВ.
Пусть ОВ = х, тогда ОА = 3х.
Теперь мы можем найти длину отрезка CD, используя закон синусов для треугольника AOC.
Формула для отрезка CD: CD = √(AC² + OA² - 2 * AC * OA * cos(∠ACO)).
Подставляем известные значения: CD = √(AC² + (3х)² - 2 * AC * 3х * cos(∠ACO)).
Упрощаем: CD = √(AC² + 9х² - 6 * AC * х * cos(∠ACO)).
Заметим, что треугольники AOC и BOD подобны по признаку AAA, так как у них есть две пары равных углов.
Получаем соотношения длин сторон: AC/OD = AO/OD.
Подставляем известные значения: AC/OD = 3х/x.
Упрощаем: AC/OD = 3.
Теперь мы можем выразить AC через OD: AC = 3OD.
Подставляем это выражение в формулу для CD: CD = √((3OD)² + 9х² - 6 * 3OD * х * cos(∠ACO)).
Упрощаем и выносим общий множитель: CD = √(9OD² + 9х² - 18OD * х * cos(∠ACO)).
Заметим, что cos(∠ACO) = cos(∠BDO), так как по условию ∠ACO = ∠BDO.
Подставляем это выражение: CD = √(9OD² + 9х² - 18OD * х * cos(∠BDO)).
Мы знаем, что периметр треугольника равен сумме длин его сторон.
Периметр треугольника АСО: P_ASO = AO + AC + CD.
Подставляем известные значения: P_ASO = 3х + 3OD + √(9OD² + 9х² - 18OD * х * cos(∠BDO)).
Мы также знаем, что периметр треугольника BOD равен 20 см: P_BOD = BD + BO + OD = BO + OD + BD.
Подставляем известные значения: 20 = BO + OD + BD.
Поскольку OD = x, мы можем выразить BO через x и OD, используя соотношение AO : OV = 3:4.
Формула для BO: BO = 4OD - 3OD = OD.
Подставляем это выражение: 20 = OD + OD + BD.
Упрощаем: 20 = 2OD + BD.
Теперь можем выразить BD через OD: BD = 20 - 2OD.
Подставляем это выражение в формулу для P_ASO: P_ASO = 3х + 3OD + √(9OD² + 9х² - 18OD * х * cos(∠BDO)).
Подставляем значения BD и OD: P_ASO = 3х + 3OD + √(9OD² + 9х² - 18OD * х * cos(∠BDO)).
Упрощаем и вычисляем: P_ASO = 3х + 3OD + √(9OD² + 9х² - 18OD * х * cos(∠BDO)).
Ответ: Периметр треугольника АСО равен 3х + 3OD + √(9OD² + 9х² - 18OD * х * cos(∠BDO)).

4*. В трапеции ABCD (AD и ВС основания) диагонали пересекаются в точке О, SAOD= 28 см², SBOC = 7 см².
Начнем с формулы для площади трапеции: S_trap = (основание1 + основание2) * высота / 2.
Подставляем известные значения: S_trap = (AD + ВС) * высота / 2.
Пусть AD - большее основание, ВС - меньшее основание, высота - h.
Получаем систему уравнений на основания:
S_trap = (AD + ВС) * h / 2,
S_trap = (SBOC + SAOD),
28 = (7 + 28) * h / 2.
Упрощаем и находим высоту: 28 = 35 * h / 2,
28 * 2 = 35 * h,
56 = 35h.
Находим значение высоты: h = 56 / 35 = 1,6 см.
Теперь можем найти большее основание AD, используя формулу для площади прямоугольника:
S_rectangle = основание * высота.
Подставляем известные значения: 28 = AD * 1,6.
Делим обе части уравнения на 1,6: 28 / 1,6 = AD.
Упрощаем и вычисляем: AD ≈ 17,5 см.
Ответ: меньшее основание трапеции BC равно примерно 12 см.