1. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 6 и 8.
Найдите среднюю линию трапеции.
[3]
2. Сторона правильного многоугольника равна 5 см, внутренний угол
равен 144°. Найдите периметр многоугольника.
[3]
3. Площадь сектора круга радиуса 15 равна 105. Найдите длину его дуги.
[4]
4. Хорды АВ и СД окружности пересекаются в точке Р. Отрезок ДР на 4 см
больше РС, АР = 12 см, АВ =17 см. Найдите длину отрезка ДР.
[3]
5. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две
секущие, образующие угол 42o. Большая дуга
окружности, заключенная между сторонами этого угла,
равна 124o. Найдите меньшую дугу.
[2]

1. Поскольку трапеция описана около окружности, то её боковые стороны параллельны и равны диаметрам окружности. Таким образом, диаметр можно найти как сумму длин боковых сторон: 6 + 8 = 14.
Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины оснований. Так как основания трапеции параллельны, то средняя линия будет иметь длину равную половине суммы длин оснований: (6 + 8) / 2 = 14 / 2 = 7.

2. В правильном многоугольнике все стороны и углы равны. Поэтому, если одна сторона равна 5 см, то и все остальные стороны будут равны 5 см. Внутренний угол правильного многоугольника можно найти по формуле: (n-2) × 180° / n, где n – количество сторон многоугольника.
В данном случае, у нас 5 сторон, поэтому: (5-2) × 180° / 5 = 3 × 180° / 5 = 540° / 5 = 108°.
Периметр многоугольника равен сумме длин всех сторон. У нас есть 5 сторон длиной 5 см, поэтому периметр будет равен: 5 × 5 см = 25 см.

3. Площадь сектора круга можно найти по формуле: S = (θ/360°) × πr², где S – площадь сектора, θ – центральный угол в градусах, r – радиус окружности.
В данном случае площадь сектора равна 105, радиус равен 15, поэтому:
105 = (θ/360°) × π × 15²
105 = (θ/360°) × 225π
Теперь найдем значение угла θ:
(θ/360°) = 105 / (225π)
θ/360° = 0,1539
θ = 0,1539 × 360°
θ ≈ 55,41°
Теперь найдем длину дуги по формуле: L = (θ/360°) × 2πr, где L – длина дуги.
L = (55,41°/360°) × 2π × 15 ≈ 2,15π ≈ 6,75

4. Сначала построим схему для данной задачи:
```
P _______D
|\__ |
| \__ |
A|______\|B
C
```
Из условия задачи известны следующие данные: AR = 12, AB = 17, DR = RC + 4.
Давайте найдем значение RC:
RC = (AB - AR) / 2 = (17 - 12) / 2 = 5 / 2 = 2.5
Теперь найдем значение DR:
DR = RC + 4 = 2.5 + 4 = 6.5
Ответ: Длина отрезка DR равна 6.5.

5. Угол, образуемый меньшей дугой, равен половине угла в центре окружности, заключенного между сторонами этого угла. Из условия известно, что большая дуга равна 124°. Значит, угол в центре равен 2 × 124° = 248°. Тогда угол, образуемый меньшей дугой, равен половине этого значения: 248° / 2 = 124°.
Ответ: Меньшая дуга равна 124°.