1.(4.1.) В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 осно-
вание ABCD —квадрат. Точка M —центр боковой грани BCC1B1.
а) Докажите, что плоскость A1D1M делит диагональ AC1 в отноше-
нии 2 : 1, считая от точки A.
б) Найдите расстояние от точки M до прямой BD1, если сторона
основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 3.
2.(4.10.) Основание шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1—
правильный шестиугольник ABCDEF c центром O. Отрезок OA1 —вы-
сота призмы.
а) Докажите, что плоскость FF1E перпендикулярна плоскости ос-
нования призмы.
б) Найдите расстояние от точки A до плоскости BCC1, если сторона
основания призмы равна 2√3.
3.(4.16.) Боковые рёбра пирамиды SABC с вершиной S попарно пер-
пендикулярны, M —произвольная точка на ребре BC.
а) Докажите, что плоскости AMS и BSC перпендикулярны.
б) Высота SH пирамиды равна 12. Прямая AH пересекает ребро BC
в точке K. Найдите расстояние от точки K до прямой AS, если AS=20.
4.(4.19.) Все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1—равные ромбы,
причём плоские углы при вершине C —острые.
а) Докажите, что AA1 ⊥BD.
б) Найдите расстояние от вершины C до плоскости A1B1C1, если
плоские углы при вершине C равны 60◦, а AA1=√6.
5.( 4.24). В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона ос-
нования AB равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD
и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM =DN =4
и AK =3.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости SBC.

а)шаоаоп
б)аооа
подробнее и
гагкнущв7вн+дашарвтвдвг-втоаруиклуо
очоаруоаона

1. а) Для доказательства того, что плоскость A1D1M делит диагональ AC1 в отношении 2:1, считая от точки A, мы можем использовать свойство симметрии квадрата.

Поскольку ABCD - квадрат, каждая его диагональ делит его на две равные части, а точка M является центром боковой грани BCC1B1, то отрезок BM равен отрезку MC1, а отрезок MM1 также делится пополам точкой M.

Таким образом, у нас есть следующие равенства: AM = MC1 и MM1 = MM.

Теперь рассмотрим треугольник ACD1. Поскольку отрезок A1D1 делится пополам точкой M и AM = MC1, то по теореме о разделении отрезка точкой M, отрезок A1D1 делится отношением 2:1, то есть AD1: A1D1 = 2:1.

б) Чтобы найти расстояние от точки M до прямой BD1, мы можем использовать свойство параллельных прямых и прямых пересечений.

Рассмотрим треугольник BMD1. Он является прямоугольным, так как BM параллельно и перпендикулярно прямой BD1. Также у нас есть одна из сторон треугольника - BM = 3.

Мы знаем, что сторона основания призмы равна 6, и треугольник BMD1 является прямоугольным, поэтому можем применить теорему Пифагора, чтобы найти длину ребра призмы MD1: MD1^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27.

Теперь найдем расстояние от точки M до прямой BD1, используя сторону треугольника BM и длину ребра MD1:
Расстояние = sqrt(BM^2 + MD1^2) = sqrt(3^2 + 27) = sqrt(9 + 27) = sqrt(36) = 6.

2. а) Чтобы доказать, что плоскость FF1E перпендикулярна плоскости основания призмы, мы можем использовать свойство перпендикулярных плоскостей, которое говорит о том, что если две плоскости пересекаются перпендикулярно третьей плоскости, то они взаимно перпендикулярны.

Обозначим точку пересечения плоскостей FF1E и основания ABCDEF как точку O. Так как плоскость основания призмы перпендикулярна к каждой ее боковой плоскости, то она также перпендикулярна прямым FF1 и EE1. Но так как плоскость FF1E проходит через точку O и перпендикулярна FF1, то она также будет перпендикулярна основанию ABCDEF.

б) Чтобы найти расстояние от точки A до плоскости BCC1, мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости.

Плоскость BCC1 проходит через прямую BC и точку C1, поэтому она расположена перпендикулярно прямой BC. Таким образом, расстояние от точки A до плоскости BCC1 будет равно расстоянию от точки A до прямой BC.

Мы знаем, что сторона основания призмы равна 2√3, поэтому расстояние от A до BC равно половине этой стороны, то есть (√3).

3. а) Чтобы доказать, что плоскости AMS и BSC перпендикулярны, мы можем использовать свойство перпендикулярных плоскостей, которое говорит о том, что если две плоскости пересекаются перпендикулярно третьей плоскости, то они взаимно перпендикулярны.

Обозначим точку пересечения плоскостей AMS и BSC как точку P. Так как боковые ребра пирамиды SABC попарно перпендикулярны, то плоскости AMS и BSC перпендикулярны этим ребрам. Учитывая это и тот факт, что прямая SP также является общей для этих плоскостей, мы можем заключить, что они перпендикулярны друг другу.

б) Чтобы найти расстояние от точки K до прямой AS, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до прямой.

Расстояние от точки K до прямой AS будет равно расстоянию от точки K до плоскости SAB, так как прямая AS лежит на этой плоскости.

Мы знаем, что высота SH пирамиды равна 12, а AS = 20. Таким образом, расстояние от точки K до плоскости SAB будет равно:

Расстояние = sqrt(SH^2 - AK^2) = sqrt(12^2 - 3^2) = sqrt(144 - 9) = sqrt(135) = 3√15.

4. а) Чтобы доказать, что AA1 ⊥BD, мы можем использовать свойство квадратной призмы, которое говорит о том, что диагонали основания квадратной призмы находятся под прямым углом к ее боковому ребру.

Так как ABCDA1B1C1D1 - квадратная призма, то BD является боковым ребром, а AA1 - диагональ основания, проходящая через противоположные вершины B и D1 основания. Следовательно, их пересечение будет происходить под прямым углом, т.е. AA1 ⊥BD.

б) Чтобы найти расстояние от вершины C до плоскости A1B1C1, мы можем использовать формулу для определения расстояния от точки до плоскости.

Перпендикуляр, опущенный из вершины C на плоскость A1B1C1, будет равен высоте параллелепипеда, т.е. расстоянию от вершины C до плоскости A1B1C1.

Мы знаем, что плоские углы при вершине C равны 60°, а AA1 = √6. Таким образом, расстояние от вершины C до плоскости A1B1C1 будет равно:

Расстояние = AA1 * sin(60°) = √6 * (√3/2) = (√6√3)/2 = (√18)/2 = (√9√2)/2 = (3√2)/2.

5. а) Чтобы доказать, что плоскости MNK и SBC параллельны, мы можем использовать свойство параллельных плоскостей, которое гласит, что если две плоскости параллельны третьей плоскости, то любая прямая, перпендикулярная одной из параллельных плоскостей, будет также перпендикулярна и другой плоскости.

У нас имеется информация о двух парах перпендикулярных ребер - AM = DN и AS ⊥ BC. Это означает, что прямая MN параллельна прямой BC и перпендикулярна прямой AS. Таким образом, плоскость MNK должна быть параллельна плоскости SBC.

б) Чтобы найти расстояние от точки K до плоскости SBC, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости.

Мы знаем, что сторона основания AB равна 16 и высота пирамиды равна 4. Также у нас есть информация о длинах отрезков AM = DN = 4 и AK = 3.

Расстояние от точки K до плоскости SBC можно найти, используя треугольники SBC и AKM.

Обозначим точку пересечения прямой BC и плоскости SBC как точку P. Так как плоскость SBC параллельна MNK, а МNK и SBC имеют общую прямую BC, то расстояние от точки K до плоскости SBC будет равно расстоянию от точки K до прямой MN.

Теперь мы можем найти расстояние от точки K до плоскости SBC, используя стороны треугольников AKM и SBC:

Расстояние = AK * (BC/SB) = 3 * (16/√16^2 + 4^2) = 3 * (16/√256 + 16) = 3 * (16/√272) = (48/16) * (16/√17) = 3/√17.
В результате расстояние от точки K до плоскости SBC равно 3/√17.