Знайти проміжки спадання функції f ( x ) = x 3 − 3 x 2

Объяснение:

f (x) = х3 – 3х + 2.

Область определения: вся числовая прямая.

Найдем производную функции:

f’ (x) = (х3 – 3х + 2)’ = 3x2 - 3.

f’ (x) = 0:

3x2 – 3 = 0,

3 (х2 – 1) = 0,

3 (х + 1) (х – 1) = 0,

х1 = -1,

х2 = 1.

При х < -1, f’ (х) > 0, значит, функция возрастает.

При -1 < х < 1, f’ (х) < 0, значит, функция убывает.

При х > 1, f’ (х) > 0, значит, функция возрастает.

Точка х = -1 – точка максимума, f (-1) = -1 + 3 + 2 = 4.

Точка х = 1 – точка минимума, f (1) = 1 - 3 + 2 = 0.

Найдем вторую производную:

f’’ (x) = (3x2 - 3)’ = 6x.

f’’ (x) = 0:

6х = 0,

х = 0.

При х < 0, f’’ (х) < 0, значит, функция выпукла вверх.

При х > 0, f’’ (х) > 0, значит, функция выпукла вниз (вогнута).

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью х:

х3 – 3х + 2 = 0,

(х – 1)2 (х + 2) = 0.

х = 1, х = -2.

(1;0) и (-2;0) – точки пересечения с осью х.

С осью у: (0;2).

Асимптот нет.

Точек разрыва нет.

f (-x) = - х3 + 3х + 2