Существует ли треугольник с высотами 4 7 10

Не существует. Его площадь  S=1/2*a*h1=1/2*b*h2=1/2*c*h3.

Отсюда a=2S/h1, b=2S/h2, c=2S/h3. Значит, b+c=2S*(1/7 + 1/10)=2S*17 / 70. 

Но 17 / 70 меньше 1/4, так как 17*4 =68 меньше 70. В любом треугольнике сумма  двух сторон БОЛЬШЕ третьей стороны.