Зазор между двумя концентрическими сферами заполнен однородным изотропным веществом. Радиусы сфер равны: r1 = 10 см, r2 = 12 см. Поверхность внутренней сферы поддерживается при температуре Т1 = 320 К, поверхность внешней — при температуре T2 = 300 К. В этих условиях от внутренней сферы к внешней распространяется установившийся тепловой поток dQ/dt = 2 кВт. Считая коэффициент теплопроводности вещества к в зазоре не зависящим от температуры, определить: а) значение k; б) температуру в зазоре как функцию расстояния r от центра сфер.

Для решения данной задачи мы будем использовать закон Фурье для теплопроводности, который гласит, что тепловой поток через поверхность пропорционален разности температур и площади поверхности. Мы можем записать это математически следующим образом:

dQ/dt = -k * A * dT/dr,

где dQ/dt - тепловой поток (в данном случае равен 2 кВт),
k - коэффициент теплопроводности,
A - площадь поверхности, через которую происходит теплопередача,
dT/dr - градиент температуры (разность температур между соседними слоями вещества, деленная на их расстояние).

Первым делом найдем площадь поверхности, через которую происходит теплопередача. Мы знаем, что это разность площадей двух сфер:

A = 4 * π * (r2^2 - r1^2),

где π - математическая константа, равная примерно 3.14.

Подставляя известные значения радиусов в уравнение, получаем:

A = 4 * π * (0.12^2 - 0.10^2) = 4 * 3.14 * (0.0144 - 0.01) = 4 * 3.14 * 0.0044 ≈ 0.055 α^2.

Теперь мы можем использовать данное значение площади в законе Фурье для теплопроводности:

2 кВт = -k * 0.055 * α^2 * dT/dr,

где

α = (r2 - r1) / 2 = (0.12 - 0.10) / 2 = 0.01 м.

Теперь давайте решим уравнение относительно k:

k = -dQ/dt / (0.055 * α^2 * dT/dr).

Мы знаем, что dQ/dt = 2 кВт и dT/dr - градиент температуры также известен:

dT/dr = (T2 - T1) / (r2 - r1) = (300 - 320) / (0.12 - 0.10) = -10 / 0.02 = -500 К/м.

Теперь мы можем вычислить значение k:

k = -2 кВт / (0.055 * (0.01)^2 * (-500 К/м)) = 2 * 10^3 Вт / (0.055 * 0.0001 * 500 К/м) = 2 * 10^3 / (0.0275 * 500) Вт / ( К * м²).

Вычисляя данное выражение, мы получаем:

k ≈ 14.55 Вт / ( К * м).

Это значение является коэффициентом теплопроводности вещества в зазоре между сферами.

Теперь перейдем к второму пункту задачи. Нам нужно найти температуру в зазоре как функцию расстояния r от центра сферы. Мы можем воспользоваться тепловым потоком и законом Фурье для теплопроводности:

dQ/dt = -k * A * dT/dr.

Мы знаем из условия, что dQ/dt = 2 кВт и k ≈ 14.55 Вт / ( К * м), а площадь поверхности A = 4 * π * r^2. Таким образом, уравнение примет следующий вид:

2 кВт = -14.55 Вт / ( К * м) * 4 * π * r^2 * dT/dr,

или, сокращая единицы измерения и переставляя члены:

dТ /d r = -0.125 / (π * r^2).

Данное дифференциальное уравнение можно решить с использованием метода разделения переменных:

(1 / Δ T) dT = -0.125 / (π * r^2) dr.

Интегрируя обе части уравнения от T1 до T и от r1 до r, получим:

∫(1 / Δ T) dT = ∫(-0.125 / (π * r^2)) dr.

ln(T / Δ T) = 0.125 / (π * r),

где ln - натуральный логарифм.

Применяя экспоненту от обеих сторон, получим:

T / Δ T = e^(0.125 / (π * r)).

Умножая обе части уравнения на Δ T и решая относительно T, получим:

T = Δ T * e^(0.125 / (π * r)).

Таким образом, температура в зазоре как функция расстояния r от центра сферы будет выражаться формулой:

T(r) = Δ T * e^(0.125 / (π * r)).

Это зависимость температуры от расстояния в зазоре между сферами.