Заряженная частица влетает в некоторой точке под углом альфа в параллельные электрическое и магнитное поля с напряженностью е и в соответственно. при каких значениях начальной скорости частица может вернуться в исходную точку? масса частицы m, заряд q.

На заряд в магнитном поле действует сила F1=q*v*B*sin(alpha) под действием которой заряд движется по поверхности цилиндра (по спирали) радиуса R
F=q*v*B*sin(alpha) = q*w*B*R = ma1 = mw^2*R
w = q*B / m
1 оборот по поверхности цилиндра частица проходит за время t1 = 1/f = 2*pi/w = 2*pi*m/(q*B)
на заряд в электрическом поле Е действует сила F2=E*q под действием которой заряд изменяет скорость
E*q = ma2
a2=E*q/m
за время равное t2 = 2*v*cos(alpha)/a2=2*v*cos(alpha)*m/(E*q) заряд меняет продольную составляющую скорости на противоположную
за это время должно пройти целое количество оборотов по поверхности цилиндра радиуса R
t2 = n*t1
2*v*cos(alpha)*m/(E*q) = n * 2*pi*m/(q*B)
v*cos(alpha)/(E) = n*pi /(B)
v*cos(alpha) = n*pi*E/B - условие при котором заряженная частица вернется через исходную точку

Период совершения одного витка спирали равен, как известно:
.
Ускорение, возникающее вследствие воздействия электрического поля:

Частица может вернуться в исходную точку, если существует натуральное число , для которого выполняется равенство:
(это следует из того, что по возвращении величина продольной составляющей скорости станет такой же, как и при влёте, а её знак будет обратным).
То есть: 
Хорошая задача.