Велосипедист едет по горизонтальной бетонной поверхности, описывая дугу радиусом 20 м. Коэффициент трения между резиной и бетоном 0,7. Определите максимально возможную скорость равномерного движения велосипедиста и угол, на который он должен отклониться от вертикали для сохранения равновесия при этой скорости. Действием сил сопротивления можно пренебречь.​

Дано:

R = 20 м

μ = 0,7

g = 10 м/с²

υ_max, α - ?

Силы, действующие на систему тел "человек-велосипед":

полная реакция опоры Q, которая раскладывается на две составляющие - вертикальную (нормальная реакция опоры N) и горизонтальную (сила трения Fтр);

сила тяжести mg.

Из горизонтальных сил здесь только сила трения, поэтому она и будет являться центростремительной силой, которая заставляет велосипед с человеком двигаться криволинейно. Вертикальные силы N и mg уравновешивают друг друга. Запишем Второй закон Ньютона в проекциях на оси:

OY: N - mg = 0 => N = mg

OX: Fтр = ma

Fтр = μN => μmg = ma | : m

μg = a

a = υ²/R => μg = υ²/R - выражаем скорость:

υ² = μgR

υ = √(μgR) - максимально возможная скорость будет зависеть от коэффициента трения и радиуса. В данной задаче она будет зависеть только от радиуса, т.к. значение коэффициента трения указано в условиях. Найдём максимально возможную скорость:

υ_max = √(μgR) = √(0,7*10*20) = √140 ≈ 11,8 м/с

Найдём угол отклонения велосипедиста от вертикали. Поделим силу трения Fтр на силу нормальной реакции опоры N (выразим тангенс угла α):

tgα = Fтр/N = μmg/(mg) = μ

или по-другому:

Fтр = Fц.с. = mυ²/R => tgα = (mυ²/R)/(mg) = υ²/(gR) - мы получим то же самое, если возьмём раннее использованную формулу квадрата скорости:

υ² = μgR

μ = υ²/(gR)

tgα = μ - выходит, что тангенс угла отклонения должен быть равен значению коэффициента трения, чтобы велосипедист не падал, но при этом двигался с максимально возможной скоростью по траектории с данным радиусом кривизны. Если угол будет превышен, то нарушится равенство моментов сил Fтр и mg, колёса начнут проскальзывать и велосипедист упадёт. Итак, угол равен:

α = arctg(μ) = arctg(0,7) = 34,99... = 35°

ответ: 11,8 м/с; 35°.