Радиус - вектора частицы меняется со временем t по закону r=bt(1-at) где b - постоянный вектор, a- положительная постоянная. Найти : а) скорость и ускорения частицы как функции t
б) время, через которое частица вернётся в исходную точку и пройденный при этом путь ​

Для начала, рассмотрим вектор радиуса r в функции времени t:

r = bt(1-at)

а) Чтобы найти скорость частицы, нам необходимо найти производную r по времени:

v = dr/dt

Для этого продифференцируем выражение r по переменной t:

v = b(1-at) + b(-at)
v = b - bat

Таким образом, скорость частицы, как функция времени t, равна v = b - bat.

б) Чтобы найти ускорение частицы, мы должны продифференцировать скорость v по времени:

a = dv/dt

Продифференцируем выражение v = b - bat:

a = -ba

Таким образом, ускорение частицы, как функция времени t, равно a = -ba.

в) Для определения времени, через которое частица вернется в исходную точку, необходимо найти такое значение времени t, когда вектор радиуса r = 0.

r = bt(1-at) = 0

Так как r = 0, уравнение примет вид:

bt - bat^2 = 0

Вынесем общий множитель t за скобки:

t(bt - bat) = 0

Теперь, чтобы найти значения времени t, необходимо приравнять каждый множитель к нулю:

t = 0 (это случай, когда частица находится в исходной точке)

bt - bat = 0

Вынесем общий множитель t:

t(b - ba) = 0

Так как уже знаем, что t = 0 является одним из решений, рассмотрим второе уравнение:

b - ba = 0

Выразим a:

a = 1/b

Таким образом, частица вернется в исходную точку через время t = 1/b.

г) Чтобы найти пройденный путь частицы, нам необходимо рассчитать интеграл от скорости v по времени t:

s = ∫ v dt

Интегрируем выражение v = b - bat:

s = ∫ (b - bat) dt

= b∫ dt - ba∫ t dt

= bt - ba(t^2/2)

Теперь, чтобы найти пройденный путь, подставим верхнюю и нижнюю границы интегрирования. Так как мы ищем пройденный путь, начальное время будет равно нулю, а конечное равно t:

s = b(t) - ba(t^2/2) |(0 to t)

= b(t) - ba(t^2/2) - b(0) + ba(0^2/2)

= b(t) - ba(t^2/2) - b(0)

= b(t) - ba(t^2/2)

Таким образом, пройденный путь частицы, как функция времени t, равен s = b(t) - ba(t^2/2).

В итоге, ответы на ваши вопросы:

а) Скорость частицы как функция времени t: v = b - bat.
б) Ускорение частицы как функция времени t: a = -ba.
в) Время, через которое частица вернется в исходную точку: t = 1/b.
г) Пройденный путь частицы как функция времени t: s = b(t) - ba(t^2/2).