По двум длинным параллельным проводникам текут токи по 10А и 20А в противоположных направлениях. Расстояние между проводниками 15см. Определить напряженность поля в точке, расположенной по середине между проводниками на прямой, соединяющей их.

Хорошо, давайте разберемся в этой задаче.

Для определения напряженности электрического поля в точке, расположенной на середине между двумя параллельными проводниками, будем использовать закон Био-Савара-Лапласа.

Закон Био-Савара-Лапласа гласит, что магнитное поле \(d\vec{B}\), создаваемое элементом проводника с током \(d\vec{I}\), определяется следующим выражением:

\[d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{d\vec{I} \times \vec{r}}{r^3},\]

где \(\mu_0\) - магнитная постоянная (примерное значение равно \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл/А} \)), \(r\) - расстояние от элемента проводника до точки, в которой измеряется магнитное поле.

Для нахождения магнитного поля, создаваемого всем проводником, интегрируем это выражение относительно всех элементов проводника. Так как линии тока в нашей задаче параллельны, магнитное поле будет они отсутствовать в одном поперечном сечении между проводами, поэтому нужно проинтегрировать только по элементу проводника на одном из проводников.

Проведем систему координат, где ось \(x\) будет проходить через проводник с током 10 А. Расстояние от проводника с током 10 А до точки, в которой определяется магнитное поле, обозначим \(x\), а расстояние между проводниками обозначим \(d\). Нашу точку, в которой мы хотим определить напряженность поля, будем обозначать как точку \(P\).

Теперь, чтобы получить напряженность поля в точке \(P\), учтем, что поле, создаваемое проводником с током 20 А, будет иметь противоположное направление по отношению к полю, создаваемому проводником с током 10 А. Таким образом, поле от проводника с током 20 А будет разворачиваться вокруг оси \(x\) в противоположном направлении. Это означает, что мы можем интегрировать только по элементу проводника на проводнике с током 10 А.

Рассчитаем магнитное поле, создаваемое элементом проводника длиной \(dl\) на проводнике с током 10 А:

\[dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \cdot dl}{r^2}\]

Поскольку проводники длинные, до интегрирования рассмотрим только элементы \(dl\) на проводнике с током 10 А, которые находятся на одинаковом расстоянии от точки \(P\). Пусть длина элемента на проводнике с током 10 А равна \(dl\), тогда длина элемента на проводнике с током 20 А будет равна \(2dl\), так как между проводниками течет в два раза больший ток.

Теперь можем интегрировать это выражение относительно \(dl\):