Определите первоначальную длину математического маятника, если известно, что при увеличении длины маятника на 4 см частота колебаний уменьшилась в 4 раза.

0,27 см

Объяснение:

ΔL=4 см    v1=4*v2    L=?

===

v1=√(g/L)/(2*π)

v2=√(g/(L+ΔL))/(2*π)

v1/v2=4=√((L+ΔL)/L)

16=(L+ΔL)/L

L=ΔL/15=4/15=0.27 см

Дано:

dL = 4 см = 0,04 м

v = v0/4

L0 - ?

Частоту колебаний маятника находят по формуле:

v = 1/T

Период находят по формуле:

w = 2pi/T => T = 2pi/w

Следовательно частота равна:

v = 1/T = 1/(2pi/w) = w/2pi

w - это циклическая частота маятника, которая равна:

w = √(g/L), тогда частота v будет:

v = w/2pi = √(g/L)/2pi = √g/(√L*2pi)

Итак, частота колебаний v уменьшилась в 4 раза по сравнению с начальной частотой v0:

v = v0/4

Выразим v0 и v:

v0 = √g/(√L0*2pi)

v = v0/4 = √g/(√L0*2pi) : 4 = √g/(√L0*2pi*4)

С другой стороны учтём удлинение нити. Тогда циклическая частота после удлинения равна:

w = √(g/(L0 + dL))

Тогда частота в герцах будет:

v = w/2pi = (√(g/(L0 + dL)))/2pi = √g/(√(L0 + dL)*2pi)

Приравняем это уравнение к уравнению (v = v0/4), выразим начальную длину L0 и найдём её значение:

√g/(√(L0 + dL)*2pi) = √g/(√L0*2pi*4) | * (2pi/√g)

1/√(L0 + dL) = 1/(√L0*4) - перевернём дроби

√(L0 + dL) = √L0*4 | ² - возведём обе части уравнения в квадрат

(√(L0 + dL))² = (√L0*4)²

L0 + dL = L0*16

16*L0 - L0 = dL

15*L0 = dL

L0 = dL/15 = 0,04/15 = 4/100 : 15 = 4/1500 = 2/750 = 1/375 = 0,002666... = 0,0027 м = 2,7 мм

Проверим полученный результат через отношение v0²/v² - должно получиться примерно 4², то есть 16:

v0²/v² = g/(L0*4pi²) : g/((L0 + dL)*4pi²) = (L0 + dL)/L0 = (0,0027 + 0,04)/0,0027 = 0,427/0,0027 = 15,8148... = 16 - сходится, значит ответ верный.

ответ: начальная длина равна примерно 2,7 мм.