Определить логарифмический декремент затухания математического маятника длиной 50 м, если за 8 мин он теряет 99% своей энергии. (6,7 * 10 ^ -3)

ответ: В линейных системах при затухающих колебаниях величина смещения изменяется со временем как х(t) = A* exp(-βt) * cos(ωt),

где β - коэффициент затухания. Поскольку энергия прямо пропорциональна квадрату смещения х, т. е.  Е ~ x², то энергия в текущий момент времени t меняется по закону: E (t) = E(0)* exp(-2βt),

где E(0) - значение энергии в начальный момент времени.

В нашей задаче: E(t=8мин) = Е(0) - 0,99Е(0) = 0,01Е(0), t= 480 секунд.

Тогда 0,01Е(0) = Е(0)* ехр(-2*480*β), откуда 0,01 = ехр(-960*β) и

㏑(0,01) = - 960β, откуда β = ㏑(100)/960 = ㏑10/480   с^(-1)

Логарифмический декремент: ∧= β*T,  T= 2*π*√l /√g - период колебаний математического маятника, l=50м.

Тогда ∧ = 2*π*㏑10*√l/(480√g) = 2*π*㏑10*√50/(480√9,8) =

=32,679/480 = 0,068