На поверхности водоема глубиной 4.5 м находится круглый плот, радиус которого равен 6.5 м. над центром плота на некоторой высоте расположен точечный источник света. найдите максимальный радиус теневого круга на горизонтальном дне водоема при освещении воды рассеянным светом. ответ: 11,9, с решением)

11,6 м

Объяснение:

Дано:

H = 4,5 м

R = 6,5 м

n = 1,33 - показатель преломления воды.

_____________

Rmax - ?

Сделаем чертеж.

Световые лучи обладают свойством обратимости. Поэтому будем считать, что на дне находится точечный источник света  в точке S. Причем из этой точки лучи уже не выходят на поверхность (угол α - предельный угол полного внутреннего отражения)

Вычислим величину этого угла:

α = arcsin (1/n) = arcsin (1/1,33) ≈ 48,75°

Из  треугольника ASO имеем:

tg α = x / H

x = H·tg α = 4,5·tg 48,75° ≈ 4,5·1,14 ≈ 5,1 м

Тогда:

Rmax = R + x = 6,5 +5,1 = 11,6 м

Для решения этой задачи, нам понадобятся знания о свойствах преломления света и геометрии.

Воспользуемся законом преломления света: угол падения равен углу отражения и угол преломления можно найти с помощью следующей формулы:

n1*sin(θ1) = n2*sin(θ2)

Где n1 - показатель преломления первой среды (воздуха), n2 - показатель преломления второй среды (воды).

Для воды показатель преломления составляет примерно 1.33, а для воздуха берем примерно равным 1.

Вначале рассмотрим ситуацию с лучом света, проходящим перпендикулярно границе раздела двух сред. В этом случае луч света идет строго вниз и не преломляется.

Однако, при наклонном падении луча, он будет преломлен в воде и итоговая траектория будет не прямой, а изогнутой. Наша задача - найти угол падения, при котором луч проходит по границе воды и воздуха горизонтально.

Из геометрических соображений можно заметить, что для этого угол падения должен быть равен углу синуса. Для поиска угла падения применим формулу для соответствующего треугольника:

sin(θ1) = h / (R-r)

Где h - высота, над которой находится источник света, R - расстояние от источника света до поверхности воды, r - радиус плота.

В нашем случае h = 4.5 м, R = 6.5 м и r = 6.5 м.

sin(θ1) = 4.5 / (6.5 - 6.5) = бесконечность

Как видим, синус нашего угла падения равен бесконечности, что означает, что угол падения равен 90 градусов (θ1 = 90°).

Далее используем закон преломления для нахождения угла преломления:

n1*sin(θ1) = n2*sin(θ2)

1*sin(90°) = 1.33*sin(θ2)

sin(θ2) = 1 / 1.33 = 0.753

Теперь найдем угол преломления θ2, взяв арксинус от этого значения:

θ2 = arcsin(0.753) ≈ 49.7°

Теперь получим радиус теневого круга на горизонтальном дне водоема. Этот радиус будет равен длине отрезка MO (где O - точка на поверхности воды, а M - точка на дне водоема).

Для этого воспользуемся теоремой синусов для треугольника OMP, где P - проекция точки M на поверхность воды.

Синус угла θ2 можно выразить следующим образом:

sin(θ2) = r / RM

Тогда длина отрезка RM может быть найдена как:

RM = r / sin(θ2) = 6.5 / sin(49.7°) ≈ 8.88 м

Теперь можем найти длину отрезка OP, с использованием теоремы Пифагора:

OP^2 = OM^2 + MP^2

MP = h = 4.5 м

OM = r = 6.5 м

OP^2 = 6.5^2 + 4.5^2 = 102.25 + 20.25 = 122.5

OP = sqrt(122.5) ≈ 11.08 м

Однако, нам нужен не отрезок OP, а его половина, так как иначе мы получим диаметр, а не радиус теневого круга.

Поэтому итоговый радиус теневого круга будет равен OP/2:

11.08 / 2 ≈ 5.54 м

Итак, максимальный радиус теневого круга на горизонтальной поверхности водоема при освещении воды рассеянным светом равен примерно 5.54 метра.