На краю гладкой крыши высотой Н лежит брусок массой m = 0,5 кг. В него попадает пуля массой m0 = 15 г, летящая горизонтально со скоростью v0 = 400 м/с. Пробив брусок насквозь, пуля вылетает со скоростью v1 = 200 м/с. В момент падения бруска на землю его скорость будет равна v2 = 14 м/с. Высота крыши Н равна ... м.

Дано:

m = 0,5 кг

m0 = 15 г = 0,015 кг

υ0 = 400 м/с

υ1 = 200 м/с

V2 = 14 м/с

g = 10 м/с²

H - ?

Задачу можно решить энергетическим подходом, а можно и через кинематику. Приведу оба варианта.

Пуля сталкивается с покоящимся бруском, приводя его в движение со скоростью V1. Закон сохранения импульса в момент вылета пули из бруска:

m*V1 + m0*υ1 = m0*υ0 - выражаем скорость V1:

m*V1 = m0*υ0 - m0*υ1 = m0*(υ0 - υ1)

V1 = m0*(υ0 - υ1) : m = (m0/m)*(υ0 - υ1)

Дальше - два пути решения:

1) энергетический подход

Предполагается, что на брусок не действуют силы трения и силы сопротивления воздуха. Механическая энергия бруска в момент падения на землю равна сумме его потенциальной и кинетической энергий:

E = Ep2 + Ek2

Но т.к. потенциальная равна нулю, то механическая энергия равна кинетической:

Е = 0 + Ek2 = Ek2

В начальный момент падения механическая энергия бруска должна быть такой же, как и в момент падения на землю:

E = Ep1 + Ek1

Теперь приравняем оба выражения, подставим вместо V1 выражение из уравнения закона сохранения импульса и выразим H:

Ek2 = Ep1 + Ek1

mV2²/2 = mgH + mV1²/2 | *(2/m)

V2² = 2gH + ((m0/m)*(υ0 - υ1))²

V2² = 2gH + (m0²/m²)*(υ0² - 2υ0*υ1 + υ1²)

2gH = V2² - (m0²/m²)*(υ0² - 2υ0*υ1 + υ1²) = (m²*V2² - m0²*(υ0² - 2υ0*υ1 + υ1²))/m²

H = (m²*V2² - m0²*(υ0² - 2υ0*υ1 + υ1²)) / (m²*2g) = (0,5²*14² - 0,015*0,015*(400² - 2*400*200 + 200²)) / (0,5²*2*10) = 8 м

2) через кинематику

Брусок летит вниз не прямо, а по параболе, его движение при этом является движением тела, брошенного горизонтально. Такое движение можно разбить на две составляющие: горизонтальную (по оси Х) и вертикальную (по оси Y). По горизонтали брусок движется с постоянной скоростью V1 и проходит путь, равный:

Sx = Vx*t, где Vx = V1

По вертикали движение бруска неравномерное, с ускорением. Движение - свободное падение:

Sy = gt²/2

Скорость в начале падения равна нулю:

V0y = 0 => Vy = V0y + gt = 0 + gt = gt

Vy = gt - выразим время:

t = Vy/g - и подставим его в формулу вертикального перемещения:

Sy = gt²/2 = (g/2)*(Vy/g)² = Vy²/(2g)

Чтобы выразить Vy, надо понимать, что в момент падения на землю брусок имеет скорость V2, направленную под каким-то углом к земной поверхности. Эту скорость образуют составляющие Vx и Vy. А все три скорости образуют прямоугольный треугольник, из которого можно узнать любую его сторону, если известны две другие, но неизвестен угол. Скорость V2 - это гипотенуза, а скорость Vx = V1 и скорость Vy - это катеты. По правилу Пифагора:

a² = c² - b² => Vy² = V2² - Vx² = V2² - V1² = V2² - ((m0/m)*(υ0 - υ1))²

Теперь это можно подставить в формулу для вертикального перемещения, которое и будет равняться высоте крыши:

H = Sy = Vy²/(2g) = (V2² - ((m0/m)*(υ0 - υ1))²) / (2g) = (m²*V2² - m0²*(υ0² - 2υ0*υ1 + υ1²)) / (m²*2g) - пришли к тому же самому уравнению, что и в первом решении.

ответ: 8 м.

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать законы сохранения импульса и энергии.

1. Расчет начальной скорости пули в первую очередь. По условию, пуля попадает в брусок и вылетает из него. Значит, начальный импульс пули до встречи с бруском равен импульсу пули после вылета из бруска.
m0 * v0 = m0 * v1
где m0 - масса пули, v0 - начальная скорость пули, v1 - скорость пули после вылета из бруска.

2. Расчет изменения импульса пули. Из задачи известно, что скорость пули изменяется от v0 до v1. Импульс можно определить, умножив массу пули на изменение ее скорости.
Изменение импульса = m0 * (v1 - v0) = 15 * (200 - 400) = -15 * (-200) = 3000

3. Закон сохранения импульса. Импульс системы до столкновения равен импульсу системы после столкновения. Система состоит из бруска и пули.
(m + m0)*v2 = m * v2 + m0 * v1
где v2 - скорость бруска после падения на землю.

4. Расчет скорости бруска после падения на землю. Уравнение из пункта 3 можно упростить, так как скорость пули после вылета из бруска равна 0.
(m + m0)* v2 = m * v2
При сокращении m * v2 получим:
m + m0 = m
m0 = 0
Таким образом, масса пули должна быть равна 0 для выполнения уравнения. Но дано, что масса пули m0 = 15 г, следовательно, данная задача противоречива и решение невозможно.

Таким образом, задача имеет ошибку в условии, так как масса пули m0 не может быть нулевой при условии, что она попадает в брусок и вылетает из него. Необходимо скорректировать условие задачи.