Магнитное поле создано кольцевым проводником радиусом 20 см по которому течет ток i=100а. на оси кольца расположена другое кольцо малых размеров с магнитным моментом pm=10м а*м^2. плоскости колец параллельны, а расстояние d между центрами равно 1см.найти силу, действующую на малое кольцо

ОбъяснениеДано: I=100 А, R =0,2м, рт = 10 мА*м^2, а между центрами равно 0,01м.

Напряженность магнитного поля, созданного кольцевым проводником, на оси кругового тока определяется H = (I*R^2/(2*(R^2 +a^2)^(3/2), где I – сила тока, R – радиус колцевого проводника, создающего магнитное поле, a – расстояние между центрами колец.

Магнитная индукция В = B = μ0*H , где μ0 = 4*π*10^–7 Гн/м.

Сила, действующая со стороны магнитного поля, на проводник с током называется силой Ампера и равна F = B*I*l*sinα, где l – длина проводника ( в нашем случае 2*π*R, α – угол между нормалью к плоскости проводника и магнитной индукцией поля, действующего на проводник с током.

Запишем уравнение для магнитного момента рт = I*S = I*π*R*l/2.

Отсюда I = (2*рт)/(π*R*l)

Найдем силу Ампера, действующую на малое кольцо:

F = B*I*l = (μ0*((I*R^2/(2*(R^2 +a^2)^(3/2))*((2*рт)/(π*R*l))*l =  

= (μ0*I*R*рт)/(R^2 + a^2)^(3/2) =

= (4*π*10^–7 Гн/м*100А*0,2м*10*10^–3A/м^2)/((0,04 +0,0001)^(3/2)) = (8*π*10^–8)/((0,0401)^1,5) = (8*π*10^–8)/(0,00803) =31,28*10^–6 H = 31,3мкН/м

Длина кольца 6,28*0,2м =1,256м.

Сила, действующая на все кольцо 31,3мкН/м*1,256м = 39,3 мкН.

Чтобы найти силу, действующую на малое кольцо, нам нужно использовать формулу для магнитного поля, создаваемого кольцевым проводником.

Магнитное поле B на оси кольца можно найти с помощью формулы:

B = (μ0 * i * R^2) / (2 * (R^2 + z^2)^(3/2)),

где μ0 - магнитная постоянная (μ0 = 4π × 10^-7 Тл/А м),
i - ток, протекающий по кольцу,
R - радиус кольца,
z - расстояние от центра кольца до точки на оси, где мы измеряем магнитное поле.

В нашем случае R = 20 см = 0.2 м и z = 1 см = 0.01 м.

Подставляем данные в формулу:

B = (4π × 10^-7 Тл/А м * 100 А * (0.2 м)^2) / (2 * ((0.2 м)^2 + (0.01 м)^2)^(3/2)).

B = (4π × 10^-7 Тл/А м * 100 А * 0.04 м^2) / (2 * (0.04 м^2 + 0.0001 м^2)^(3/2)).

B = (4π × 10^-7 Тл/А м * 100 А * 0.04 м^2) / (2 * (0.0401 м^2)^(3/2)).

B = (4π × 10^-7 Тл/А м * 100 А * 0.04 м^2) / (2 * 0.2001 м^3).

B = (4π × 10^-7 Тл/А м * 100 А * 0.04 м^2) / 0.4002 м^3.

B = (1.2566370614 × 10^-4 Тл/м * 100 А * 0.04 м^2) / 0.4002 м^3.

B = (0.0050265482 Тл) / 0.4002 м^3.

B = 0.01255873 Тл.

Теперь, когда у нас есть магнитное поле на оси кольца, мы можем найти силу, действующую на малое кольцо.

Сила, действующая на малое кольцо, равна произведению магнитного момента на градиент магнитного поля:

F = (∇(pm * B)),

где ∇ - оператор градиента, pm - магнитный момент малого кольца.

Расстояние между центрами колец равно 1 см = 0.01 м. Для удобства расчетов представим это расстояние как отрезок на оси, взяв его от центра кольца до точки, где мы измеряем магнитное поле.

Так как магнитное поле направлено вверх, а магнитный момент малого кольца перпендикулярен плоскости колец, то сила будет направлена наружу от оси.

Теперь вычислим градиент магнитного поля:

∇(pm * B) = (∂(pm * B) / ∂z) * ẑ,

где ∂(pm * B) / ∂z - производная относительно z, ẑ - вектор, направленный вдоль оси.

В нашем случае ∂(pm * B) / ∂z можно рассчитать как -∂(pm * B) / ∂r и умножить на -1, так как z у нас направлено вниз, а r - вверх.

∂(pm * B) / ∂z = ∂(pm * B) / ∂r = ∂(pm * B) / ∂r / ∂z = (∂(pm * B) / ∂r) / ∂z = (∂(pm * B) / ∂r) / (-1),

где (∂(pm * B) / ∂r) - производная относительно r.

Теперь найдем производную (∂(pm * B) / ∂r).

(∂(pm * B) / ∂r) = ∂(pm * B) / ∂r = pm * (∂B / ∂r) + B * (∂pm / ∂r),

где (∂B / ∂r) - производная магнитного поля по радиусу, (∂pm / ∂r) - производная магнитного момента по радиусу.

Так как радиус малого кольца в нашем случае очень мал, мы можем считать, что (∂pm / ∂r) и (∂B / ∂r) равны нулю.

Поэтому (∂(pm * B) / ∂r) = pm * (∂B / ∂r) + B * (∂pm / ∂r) = 0.

Теперь, зная что (∂(pm * B) / ∂r) = 0, мы можем вычислить (∂(pm * B) / ∂z).

(∂(pm * B) / ∂z) = (∂(pm * B) / ∂r) / (-1) = 0 / (-1) = 0.

Таким образом, (∇(pm * B)) = 0.

Соответственно, сила, действующая на малое кольцо, равна нулю.