Куб, плавающий в воде, погружен в воду на 1/2 своего объема v. какая часть куба будет находиться в воздухе, если на этот куб положить сверху тело той же плотности, что и куб, и объема v/4?

Итак, некий куб имеет объём V и массу допустим M, на него действуют уравновешенные силы:
Fт1 = Mg - сила тяжести
Fa1 = ρgV/2 - архимедова сила
Т.е. Mg=ρgV/2 и M = ρV/2 (речь про плотность воды!)
Теперь представим, что тело потяжелело на M/4:
Fт2 = (M+M/4)g = 5/4Mg = 5/4 Fт1
Сила тяжести увеличилась в 5/4 раз, значит во столько же должна увеличиться и сила Архимеда, а для этого объём погружённой части, в свою очередь, должен увеличиться во столько же:
V/2 * 5/4 = 5/8 * V
Значит в воздухе останется V - 5/8 * V = 3/8 * V от куба