Каков КПД идеальной тепловой машины, если температура холодильника равно одной четвёртой части температуры нагревателя? (%)

Чтобы ответить на вопрос о КПД идеальной тепловой машины, необходимо учесть некоторые основные понятия и формулы из термодинамики.

КПД (коэффициент полезного действия) идеальной тепловой машины определяется как отношение полезной работы (Wп) к затраченной теплоте (Qнаг), то есть КПД = Wп / Qнаг. Полезная работа в тепловых машинах выполняется за счет получения энергии из нагревателя и передачи ее в холодильник, а затраченная теплота в машине равна сумме полезной работы и отведенной теплоты.

Также, в задании указано, что температура холодильника (Tхол) равна одной четвертой части температуры нагревателя (Tнаг). Давайте обозначим Tнаг = x и, исходя из этого, можем сказать, что Tхол = x / 4.

Теперь, чтобы продолжить решение, нам понадобится закон сохранения энергии для тепловых машин. В идеальной тепловой машине затраченная теплота будет равна сумме полезной работы и отведенной теплоты, то есть Qнаг = Wп + Qот.

Следовательно, КПД может быть записан как КПД = Wп / Qнаг = Wп / (Wп + Qот).

Так как Wп и Qот неизвестны, но у нас есть формула для полезной работы в идеальной тепловой машине: Wп = Qнаг - Qот. Мы можем подставить эту формулу в выражение для КПД.

КПД = (Qнаг - Qот) / (Qнаг + Qот).

Теперь нам нужно выразить Qнаг и Qот через температуры нагревателя и холодильника, используя закон сохранения энергии.

Закон сохранения энергии гласит, что в идеальной тепловой машине полностью преобразуется внутренняя энергия рабочего вещества в работу. Формула для этого закона соответствует изменению внутренней энергии (ΔU) рабочего вещества, равному полученной теплоте (Qнаг) минус отведенной теплоте (Qот). То есть ΔU = Qнаг - Qот.

Так как идеальная тепловая машина работает по циклу, весь процесс можно представить в виде двух этапов: изохорного (постоянного объема) нагрева и изохорного охлаждения. В каждом из этапов можно использовать показатель адиабаты (γ), который показывает соотношение между теплоемкостями при постоянном давлении и постоянном объеме.

Теперь, если мы представим уравнение ΔU = Qнаг - Qот в виде ΔU = Cнаг × (Tнаг - Tхол) - Cот × (Tот - Tхол), где Cнаг и Cот - это теплоемкости рабочего вещества при постоянном объеме для нагревания и охлаждения соответственно, Tнаг и Tхол - температуры нагревателя и холодильника, а Tот - температура резервуара, в которую отводится теплота, то получим, что:

ΔU = Cнаг × (Tнаг - Tхол) - Cот × (Tот - Tхол).

ΔU может быть также записано как ΔU = n × R × (Tнаг - Tхол) - (n × R × (Tот - Tхол)), где n - количество вещества, занимающего рабочий объем, а R - универсальная газовая постоянная.

Так как нас интересует КПД, нам нужно, чтобы отведенная теплота была равной нулю, чтобы получить максимальное полезное действие. Это может быть достигнуто, если Tот стремиться к абсолютному нулю (0 K), поскольку разность температур (Tот - Tхол) будет максимальной. В этом случае формула примет вид:

ΔU = n × R × (Tнаг - Tхол).

Теперь мы можем выразить Qнаг и Qот через n × R × (Tнаг - Tхол):

Qнаг = n × R × (Tнаг - Tхол), и Qот = 0.

Подставляя эти значения в выражение для КПД, получим:

КПД = (Qнаг - Qот) / (Qнаг + Qот) = (n × R × (Tнаг - Tхол)) / (n × R × (Tнаг - Tхол) + 0) = (Tнаг - Tхол) / (Tнаг - Tхол + 0).

Теперь, используя то, что Tхол = x / 4 и Tнаг = x, мы можем записать КПД как:

КПД = (x - x / 4) / (x - x / 4 + 0) = (3x / 4) / (3x / 4) = 1.

Таким образом, КПД идеальной тепловой машины в данном случае равно 100% или 1 в десятичной форме.

Обоснование: При идеальной тепловой машине, в которой все процессы происходят без потерь энергии, максимально возможный КПД будет равен 1 или 100%. В нашем случае, где Tхол равно одной четвертой части Tнаг, энергия полностью преобразуется в полезную работу, что означает максимальное использование энергии и, следовательно, КПД равен 100%.

Пошаговое решение:
1. Обозначим Tнаг = x.
2. Теперь Tхол = x / 4.
3. Используя формулу КПД, КПД = (Qнаг - Qот) / (Qнаг + Qот).
4. Используя закон сохранения энергии, выразим Qнаг и Qот через температуры нагревателя и холодильника, получим Qнаг = n × R × (Tнаг - Tхол) и Qот = 0.
5. Подставим эти значения в формулу для КПД, получим КПД = (Tнаг - Tхол) / (Tнаг - Tхол + 0).
6. Используя Tхол = x / 4 и Tнаг = x, перепишем КПД = (x - x / 4) / (x - x / 4 + 0).
7. Решим уравнение, получим 1.
8. Таким образом, КПД идеальной тепловой машины равно 100% или 1 в десятичной форме.