Как можно доказать существование магнитного поля?

Никак. Всерьёз это требует квантовой физики.

А вам наверно нужно отвечать так: В силу неких непредставимых особенностей атомы ферромагнетиков, ттаких как железо, никель и РЗЭ (редкие земли) имеют сильный магнитный момент (маленькие магнитики), и в результате в кристаллической решётке развёрнуты в одну сторону, а потому их магнитные поля складываются и магнит магнитится

Правда такой ответ не объясняет, почему магнит нужно намагничивать, почему существуют магнитомягкие ферромагнетики, намагничивающиеся только в присутствии магнитного поля, и наконец АНТИферромагнетизм, когда маленькие атомные магнитики есть, а вещество - не магнит.

Зато это объясняет существование температуры Кюри - если тепловые колебания атомов - элементарных магнитиков становятся сильнее, чем их магнитное взаимодействие, порядок их разрушается и магнит разом размагничивается :-)