Как изменяется масса тел при нагревании?

Вот ответ для школы - так как нагрев тела идет на увеличение внутренней энергии и нового вещества не привносит в тело, то масса не меняется. Увеличивается объем, уменьшается плотность и это компенсирует друг друга, масса остается неизменной. 

Не для школы.
Нагрев действительно приводит к увеличению внутренней энергии за счет увеличения кинетической энергии молекул (атомов) тела и за счет увеличения потенциальной энергии их взаимодействия (за счет расширения) Увеличение скорости, по Эйнштейну, приводит к увеличению массы каждого атома, а значит и всего тела, состоящего из этих атомов. Однако эти изменения скорости и сами величины скорости так малы по сравнению со скоростью света, что обнаружить изменение массы вряд ли сейчас возможно. Если Эйнштейн с со всеми релятивистами вообще не приняли за реальность просто математические модели.