Из арсенида галлия изготовлен цилиндр длиной 16 мм и диаметром 4 мм. К торцам цилиндра приложено напряжение 200 В. Определите силу тока в цилиндре при температуре 20°С. Во сколько раз изменится эта сила тока, если цилиндр нагреть на 40°С? Подвижности носителей зарядов электронов μ_n = 0,05 м^2/(В∙с), дырок μ_p = 0,01 м^2/(В∙с). Ширина запрещенной зоны германия равна 1,41 эВ.

Чтобы определить силу тока в цилиндре, мы можем использовать закон Ома для полупроводников, который гласит, что ток в полупроводнике зависит от напряжения и подвижности носителей заряда.

Сначала мы найдем площадь поперечного сечения цилиндра, используя его диаметр. Для этого нам нужно найти радиус цилиндра. Радиус равен половине диаметра, поэтому он будет равен 2 мм или 0,002 м.

Площадь поперечного сечения цилиндра вычисляется по формуле площади круга: A = π * r^2. Здесь π (пи) - это приближенное значение числа пи, равное примерно 3,14.

A = 3,14 * (0,002 м)^2 = 0,00001256 м^2.

Теперь мы можем использовать закон Ома для полупроводников:

I = (q * n * A * V) / (e * d),

где
I - сила тока (которую мы хотим найти),
q - элементарный заряд, равный 1,6 * 10^(-19) Кл,
n - концентрация носителей заряда (в данном случае - электронов),
A - площадь поперечного сечения цилиндра,
V - напряжение,
e - заряд электрона, равный q,
d - длина цилиндра.

Мы уже знаем значение V (200 В) и d (16 мм или 0,016 м). Нам осталось найти значение n, концентрации носителей заряда.

Концентрация носителей заряда n вычисляется по формуле для объемной концентрации:

n = N / V,

где
N - количество носителей заряда,
V - объем.

Для определения N мы можем использовать формулу N = N_A * n_i, где N_A - постоянная Авогадро (6,02 * 10^23 молекул/моль), а n_i - эффективная объемная концентрация носителей.

Для германия, эффективная объемная концентрация носителей равна n_i = 2 * [exp(-E_g/(2 * k * T))],

где
E_g - ширина запрещенной зоны,
k - постоянная Больцмана (1,38 * 10^(-23) Дж/К),
T - температура в Кельвинах.

Давайте вычислим n:

n_i = 2 * [exp(-E_g/(2 * k * T))]
= 2 * [exp(-1,41 эВ/(2 * 1,38 * 10^(-23) Дж/К * (20 + 273) К))]
= 2 * [exp(-1,41/(2 * 1,38 * 10^(-23) * 293))]
≈ 2 * [exp(-8,39 * 10^(-25))]
≈ 2 * [exp(-0,839 * 10^(-24))]
≈ 2 * [exp(-8,39 * 10^(-25))],

где exp - это экспоненциальная функция. Примерное значение приведено для удобства вычислений.

Теперь мы можем вычислить концентрацию носителей заряда:

N = N_A * n_i
= 6,02 * 10^23 молекул/моль * 2 * [exp(-8,39 * 10^(-25))]
≈ 1,204 * 10^(-1) моль/м^3.

Теперь, когда у нас есть все значения, мы можем подставить их в формулу для силы тока:

I = (q * n * A * V) / (e * d)
= (1,6 * 10^(-19) Кл * 1,204 * 10^(-1) моль/м^3 * 0,00001256 м^2 * 200 В) / (1,6 * 10^(-19) Кл * 0,016 м)
= (1,92 * 10^(-40) Кл * моль/м^2 * В * В) / (2,56 * 10^(-20) Кл * м)
= 0,75 А.

Таким образом, сила тока в цилиндре при температуре 20°C равна 0,75 А.

Чтобы определить, во сколько раз изменится эта сила тока при нагревании цилиндра на 40°C, мы используем изменение концентрации носителей заряда в законе Ома.

Изменение концентрации носителей заряда можно найти с помощью формулы:

Δn = n_i * [exp(-ΔE_g/(2 * k * T)) - 1],

где
Δn - изменение концентрации носителей заряда,
ΔE_g - изменение ширины запрещенной зоны (гамма),
T - исходная температура (20°C).

ΔE_g может быть вычислено с помощью формулы ΔE_g = α * T,

где
α - коэффициент температурного расширения.

Известно, что для германия коэффициент температурного расширения составляет α = 5,8 * 10^(-3) 1/°C.

ΔE_g = α * T
= 5,8 * 10^(-3) 1/°C * 40°C
= 0,232 1.

Δn = n_i * [exp(-ΔE_g/(2 * k * T)) - 1]
= 2 * [exp(-0,232 1/(2 * 1,38 * 10^(-23) Дж/К * (20 + 273) К)) - 1]
≈ 2 * [exp(-0,232/(2 * 1,38 * 10^(-23) * 293)) - 1]
≈ 2 * [exp(-1,45 * 10^(-3)) - 1]
≈ 2 * [exp(-1,45 * 10^(-3)) - 1]
≈ 2 * [0,99855 - 1]
≈ 2 * [-0,00145]
= -0,0029 моль/м^3.

Таким образом, изменение концентрации носителей заряда составляет -0,0029 моль/м^3.

Изменение силы тока будет пропорционально изменению концентрации носителей заряда. Поскольку изменение составляет -0,0029 моль/м^3, сила тока изменится в том же направлении и будет равна:

ΔI = (q * Δn * A * V) / (e * d)
= (1,6 * 10^(-19) Кл * -0,0029 моль/м^3 * 0,00001256 м^2 * 200 В) / (1,6 * 10^(-19) Кл * 0,016 м)
≈ (4,576 * 10^(-41) Кл * моль/м^2 * В * В) / (2,56 * 10^(-20) Кл * м)
= -0,071 А.

Таким образом, сила тока изменится на -0,071 А.

Чтобы найти изменение силы тока в разах, мы можем использовать формулу:

Изм.вI = ΔI / I_нач,

где
Изм.вI - изменение силы тока в разах,
ΔI - изменение силы тока,
I_нач - начальная сила тока.

Изм.вI = -0,071 А / 0,75 А
= -0,095.

Таким образом, сила тока изменится на -0,095 раз или примерно 9,5%.