Есть : "как надо расположить две линзы, чтобы параллельные лучи (см. пройдя через линзы, остались параллельными? "

у меня получилось решить только для случая, когда лучи параллельны главной оптической оси. есть ли решение для случая, изображенного на рисунке?

Ответы

TDashaS 10.10.2020 08:12

Нужно, чтобы фокусы обеих линз справа от них были совмещены, тогда требование задачи выполнится. Фокусы могут быть разными по модулю. В случае, когда они равны по модулю, то линзы надо ставить плотно, как и было указано в таком частном случае.

Объяснение:

Краткое объяснение на втором изображении.

Далее – полное объяснение.

Поставим на одной оптической оси положительную линзу с фокусным расстоянием и соответствующей силой $f_p = \frac{1}{D_p} 0$ и отрицательную линзу с фокусным расстоянием и соответствующей силой $f_n = \frac{1}{D_n} < 0$ , как показано на чертеже.

Направим тонкий пучок света на поверхность положительной линзы под углом к главной оптической оси $\alpha$ в точку , отстоящую от оптической оси на расстояние .

Проведём воображаемый луч через главный оптический центр положительной линзы параллельно пучку света до пересечения с фокальной плоскостью положительной линзы в точке . По правилам построения изображения в тонких линзах, в точку направится и пучок света сразу после преломления положительной линзой. Отсюда мы можем найти угол $\varphi$ , преломления пучка света в положительной линзе:

$tg \varphi = \frac{ AO + PF_p }{ OF_p } = \frac{ y + f_p tg \alpha }{ f_p } = \frac{y}{ f_p } + tg \alpha$ ;

Понятно, что под тем же углом $\varphi$ к главной оптической оси первично преломленный в положительной линзе пучок упадёт на поверхность отрицательной линзы.

Пусть линзы установлены на расстоянии друг от друга, тогда, как легко найти по чертежу, точка падения пучка на поверхность отрицательной линзы, отстоит от оптической оси на расстояние:

$z = y - x tg \varphi = y - \frac{xy}{ f_p } - x tg \alpha$ .

Будем считать, что данный пучок между линзами направлен в некоторую точку фокальной плоскости отрицательной линзы. После вторичного преломления в отрицательной линзе пучок отклонится от этой точки вверх.

Проведём воображаемый луч через главный оптический центр отрицательной линзы. По правилам построения изображения в тонких линзах, пучок света сразу после преломления отрицательной линзой, направится параллельно построенному воображаемому лучу. Отсюда мы можем найти угол $\beta$ , полного преломления пучка по прохождении света через обе линзы:

$tg \beta = \frac{ NF_n }{ QF_n } = \frac{ |f_n| tg \varphi - BQ }{ |f_n| } = tg \varphi - \frac{z}{ |f_n| } = \frac{y}{ f_p } + tg \alpha - \frac{y}{ |f_n| } + \frac{xy}{ f_p |f_n| } + \frac{x}{ |f_n| } tg \alpha =$

$= ( 1 + \frac{ x }{ |f_n| } ) tg \alpha + \frac{y}{ f_p |f_n| }( |f_n| - f_p + x ) = ( 1 + \frac{ x }{ |f_n| } ) tg \alpha + \frac{ ( f_p + f_n ) - x }{ f_p f_n } \cdot y$ ;

Отсюда хорошо видно, что если мы направим широкий параллельный пучок на положительную линзу под некоторым углом $\alpha$ к главной оптической оси, с разными по ширине пучка значениями вертикальной координаты точки падения , то угол преломления по прохождении через обе линзы окажется независимым от координаты лишь в том случае, когда выполняется условие:

f_p + f_n = x , где f_n < 0 .

Т.е., короче говоря, правые фокусы положительной и отрицательной линзы должны быть точно совмещены, тогда любые параллельные лучи слева после преломления окажутся параллельными и справа.

Вообще, это рассуждение так же верно и для случая:

f_1 + f_2 = x , где f_1 0 и f_2 0 , только в этом случае нужно совместить фокусы положительных линз, находящиеся между ними.

В обоих случаях мы получим телескоп или микроскоп! В случае с положительными линзами – классическую схему, а в случае с правой отрицательной – схему Ньютона.

$\beta = arctg \frac{ f_p }{ |f_n| } tg \alpha \approx \frac{ f_p }{ |f_n| } \alpha$ , в котором увеличение объектов и увеличение угла преломления параллельного пучка – суть две стороны одной медали: