Доску с находящимся на ней бруском удерживают в покое на наклонной плоскости с углом наклона к горизонту `alpha=60^@` (рис. 40). Расстояние от бруска до края доски `S=49` см. Доску и брусок одновременно отпускают, и доска начинает скользить по наклонной плоскости, а брусок по доске. Коэффициент трения скольжения между бруском и доской `mu=0,30`, а между доской и наклонной плоскостью `mu_2=0,40`. Масса доски в три раза больше массы бруска. 1) Определить ускорение бруска относительно наклонной плоскости при скольжении бруска по доске.
2) Через какое время брусок достигнет края доски?

Для решения данной задачи, нам необходимо применить второй закон Ньютона и закон сохранения энергии.

1) Определение ускорения бруска относительно наклонной плоскости при скольжении бруска по доске:

Мы можем разбить силу трения на две составляющие: силу трения между бруском и доской (F1) и силу трения между доской и наклонной плоскостью (F2).

Силы трения (F1 и F2) могут быть выражены как:

F1 = mu * m * g (1)
F2 = mu_2 * m * g (2)

Где mu - коэффициент трения скольжения между бруском и доской,
mu_2 - коэффициент трения между доской и наклонной плоскостью,
m - масса бруска.

Сила трения F1 направлена вверх по наклонной плоскости, а сила трения F2 направлена вниз по наклонной плоскости. Поскольку брусок скользит вниз по доске, нам нужно найти разность этих двух сил.

Разница между силой трения (F1) и (F2) равна силе трения, вызывающей ускорение бруска относительно наклонной плоскости:

F = F1 - F2 (3)

Ускорение b можно найти, используя второй закон Ньютона:

F = m * a (4)

Подставив значения сил трения (F1 и F2) из (1) и (2) в (3), и заменив массу бруска (m) через массу доски (M), получим:

F = mu * m * g - mu_2 * m * g (5)
F = (mu - mu_2) * m * g (6)

Подставив значение силы (F) из (6) в (4), получим:

(mu - mu_2) * m * g = m * a (7)
a = (mu - mu_2) * g (8)

Таким образом, ускорение бруска относительно наклонной плоскости при скольжении бруска по доске будет равно (mu - mu_2) * g.

2) Через какое время брусок достигнет края доски?

Для решения этой части задачи, мы можем использовать закон сохранения энергии. При отпускании доски и бруска, их суммарная потенциальная энергия превратится в кинетическую энергию.

Суммарная потенциальная энергия (Ep) состоит из потенциальной энергии бруска (Ep1) и потенциальной энергии доски (Ep2):

Ep = Ep1 + Ep2 (9)

Потенциальная энергия можно выразить как:

Ep1 = m * g * h (10)
Ep2 = M * g * H (11)

где m - масса бруска,
M - масса доски,
g - ускорение свободного падения,
h - высота бруска относительно края доски,
H - высота края доски относительно наклонной плоскости.

Из рисунка видно, что высота бруска относительно края доски равна h = S * sin(alpha), где S - расстояние от бруска до края доски, альфа - угол наклона к горизонту.

Высота края доски относительно наклонной плоскости равна H = S * cos(alpha).

Подставив значения Ep1 и Ep2 в (9), получим:

Ep = m * g * h + M * g * H (12)

Поскольку потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию (Ek), мы можем выразить это как:

Ep = Ek (13)

Мы также знаем, что кинетическая энергия выражается как:

Ek = (1/2) * m * v^2 (14)

где v - скорость бруска.

Подставив значения Ep и Ek, получим:

m * g * h + M * g * H = (1/2) * m * v^2 (15)

Подставив значения h и H, получим:

m * g * S * sin(alpha) + M * g * S * cos(alpha) = (1/2) * m * v^2 (16)

Так как масса доски (M) в три раза больше массы бруска (m), мы можем заменить M на 3m в уравнении (16):

m * g * S * sin(alpha) + 3m * g * S * cos(alpha) = (1/2) * m * v^2 (17)

Упростив это выражение, получим:

g * S * (sin(alpha) + 3 * cos(alpha)) = (1/2) * v^2 (18)

Раскрыв sin(alpha) и cos(alpha), получим:

g * S * (√3/2 + 3/2) = (1/2) * v^2 (19)

g * S * (√3 + 3) = v^2 (20)

Время (t), через которое брусок достигнет края доски, можно найти, используя соотношение `v = a * t`, где `a` - ускорение бруска относительно наклонной плоскости (полученное в первой части задачи).

Таким образом, мы получили два уравнения (20) и `v = a * t`. Подставив значение `v` из второго уравнения в первое, и заменив значение `a` на `(mu - mu_2) * g`, получим:

g * S * (√3 + 3) = (mu - mu_2)^2 * g^2 * t^2 (21)

Упростив это выражение, получаем:

t^2 = S * (√3 + 3) / (mu - mu_2)^2 (22)

Через какое время брусок достигнет края доски можно найти, возведя обе стороны уравнения в квадратный корень:

t = sqrt(S * (√3 + 3) / (mu - mu_2)^2) (23)

Таким образом, время, через которое брусок достигнет края доски составит sqrt(S * (√3 + 3) / (mu - mu_2)^2)