Четыре маленьких шарика одинаковой массы, жестко закрепленные невесомыми стержнями, образуют квадрат. отношение моментов инерции системы i1 / i2 относительно оси, со стороной квадрата (i1), и с его диагональю (i2) равно … 1. 1/4 2. 2 3. 4 4. 1 5. 1/2

Хорошо понятое условие, на половину решённая задача.
Читаем внимательно условие... Отношение моментов инерции ... 
относительной оси:
в 1-ом случае эта ось совпадает со стороной квадрата
во 2-ом случае с диагональю. 
Делаем рисунок (см. вложение).

Вспоминаем что такое момент инерции.
Момент инерции это - скалярная физ. величина равная произведению массы (m) на квадрат расстояния до оси.
         J = m · R
Момент инерции тела = сумме моментов инерции материальных точек из которых состоит тело.
Запишем математически:
         J = ∑ m · R²
Для первого случая и всех точек: 
J₁ = 0 + m · R₂² + m · R₃² + 0 = 2·m·R² при L = R ⇒ J = 2·m·L²
почему для 1-и 4-ой точки 0? вспоминаем: квадрат расстояния до оси, он там равен 0.

Для второго случая:
J₂ = 0 + m · R₂² + 0 + m · R₄²= 2·m·R²
см. рисунок, там L ≠ R
Тут  L = R·√2  - из курса геометрии откуда R = L/√2 
Подставим: J₂ = 2·m·(L/√2)² = m·L²

Находим искомое соотношение моментов инерций двух случаев:
 J₁     2·m·L²
── = ──── = 2 - ответ.
 J₂      m·L²