Человек массой 80 кг качается на качелях. Амплитуда его колебаний 1 м. За 1 минуту он совершает 15 колебаний. Найти кинетическую и потенциальную энергию через 1/12 периода
Первым шагом нам нужно определить период колебаний человека на качелях. Период (T) - это время, за которое происходит одно полное колебание. Период можно вычислить по формуле:
T = время / количество колебаний
В нашем случае, человек совершает 15 колебаний за 1 минуту, то есть за 60 секунд. Подставляя значения в формулу, получаем:
T = 60 / 15 = 4 секунды
Теперь мы можем найти частоту (f) колебаний человека на качелях. Частота (f) - это обратная величина периода и показывает, сколько колебаний происходит за единицу времени. Частоту можно вычислить следующим образом:
f = 1 / T
Подставляя значение периода, полученное на предыдущем шаге, в формулу, получаем:
f = 1 / 4 = 0.25 Гц
Теперь мы можем использовать закон сохранения механической энергии для нахождения кинетической и потенциальной энергии через 1/12 периода.
Закон сохранения механической энергии утверждает, что сумма кинетической (K) и потенциальной (U) энергии системы остается постоянной во время всех фаз колебаний. Формула для этого закона выглядит следующим образом:
K + U = постоянная
Теперь рассмотрим наши данные:
Масса человека (m) = 80 кг
Амплитуда колебаний (A) = 1 м
1/12 периода (t) = T / 12 = 4 / 12 = 1 / 3 секунды
Начнем с расчета потенциальной энергии (U). Потенциальная энергия связана с положением объекта и вычисляется по следующей формуле:
U = m * g * h
где m - масса объекта, g - ускорение свободного падения (принимаем его равным 9.8 м/с^2), h - высота положения объекта.
Здесь у нас есть небольшое упрощение. При колебаниях на качелях изначально потенциальная энергия равна нулю, так как она считается относительно нижней точки колебаний. Поэтому, в данном случае, мы можем сказать, что потенциальная энергия через 1/12 периода также равна нулю.
Теперь рассмотрим кинетическую энергию (K). Кинетическая энергия связана с движением объекта и вычисляется по формуле:
K = (1/2) * m * v^2
где m - масса объекта, v - скорость объекта.
Мы можем найти скорость через 1/12 периода, используя следующий закон:
v = 2 * π * f * A * cos(2 * π * f * t)
Здесь π - математическая константа (~3.14159), f - частота колебаний, A - амплитуда колебаний, cos - косинус угла.
Первым шагом нам нужно определить период колебаний человека на качелях. Период (T) - это время, за которое происходит одно полное колебание. Период можно вычислить по формуле:
T = время / количество колебаний
В нашем случае, человек совершает 15 колебаний за 1 минуту, то есть за 60 секунд. Подставляя значения в формулу, получаем:
T = 60 / 15 = 4 секунды
Теперь мы можем найти частоту (f) колебаний человека на качелях. Частота (f) - это обратная величина периода и показывает, сколько колебаний происходит за единицу времени. Частоту можно вычислить следующим образом:
f = 1 / T
Подставляя значение периода, полученное на предыдущем шаге, в формулу, получаем:
f = 1 / 4 = 0.25 Гц
Теперь мы можем использовать закон сохранения механической энергии для нахождения кинетической и потенциальной энергии через 1/12 периода.
Закон сохранения механической энергии утверждает, что сумма кинетической (K) и потенциальной (U) энергии системы остается постоянной во время всех фаз колебаний. Формула для этого закона выглядит следующим образом:
K + U = постоянная
Теперь рассмотрим наши данные:
Масса человека (m) = 80 кг
Амплитуда колебаний (A) = 1 м
1/12 периода (t) = T / 12 = 4 / 12 = 1 / 3 секунды
Начнем с расчета потенциальной энергии (U). Потенциальная энергия связана с положением объекта и вычисляется по следующей формуле:
U = m * g * h
где m - масса объекта, g - ускорение свободного падения (принимаем его равным 9.8 м/с^2), h - высота положения объекта.
Здесь у нас есть небольшое упрощение. При колебаниях на качелях изначально потенциальная энергия равна нулю, так как она считается относительно нижней точки колебаний. Поэтому, в данном случае, мы можем сказать, что потенциальная энергия через 1/12 периода также равна нулю.
Теперь рассмотрим кинетическую энергию (K). Кинетическая энергия связана с движением объекта и вычисляется по формуле:
K = (1/2) * m * v^2
где m - масса объекта, v - скорость объекта.
Мы можем найти скорость через 1/12 периода, используя следующий закон:
v = 2 * π * f * A * cos(2 * π * f * t)
Здесь π - математическая константа (~3.14159), f - частота колебаний, A - амплитуда колебаний, cos - косинус угла.
Подставляя значения в формулу, получаем:
v = 2 * 3.14159 * 0.25 * 1 * cos(2 * 3.14159 * 0.25 * 1/3)
Вычисляя выражение внутри косинуса, получаем:
v = 2 * 3.14159 * 0.25 * 1 * cos(0.5236) ≈ 3.14 м/с
Теперь, подставляя значение скорости полученное на предыдущем шаге и значение массы в формулу, получаем:
K = (1/2) * 80 * (3.14)^2 ≈ 395.84 Дж
Итак, через 1/12 периода кинетическая энергия составит приблизительно 395.84 Дж, а потенциальная энергия будет равна нулю.
Надеюсь, этот подробный ответ помог вам лучше понять, как решить задачу.