Аэростат поднимается вверх с ускорением 2 м/с 2. Через 5 с
после начала движения от него отделяется предмет. С какой скоростью предмет упадет на землю? ответ округлить до десятых

(a=2\) м/с2, \(\tau=5\) с, \(t-?\)

Решение задачи:

Схема к решению задачиАэростат вместе с предметом начинает движение с поверхности земли. Хотя это и не написано в условии, но подразумевается, что это так.

Через время \(\tau\) они, благодаря ускорению \(a\), достигнут какой-то высоты \(h\). Это ускорение создают какие-то силы, например, сила Архимеда, сила тяжести и т.д, в данном случае они не важны, поскольку это задача на кинематику, а не динамику. Её (высоту) легко определить по следующей формуле:

\[h = \frac{{a{{\tau}^2}}}{2}\;\;\;\;(1)\]

Но если аэростат двигался равноускоренно, значит через \(\tau\) и у аэростата, и у предмета будет какая-то скорость \(\upsilon _0\), которая сохранится у тела и по величине, и по направлению после выпадения из аэростата. Найдем \(\upsilon _0\) таким образом.

\[{\upsilon _0} = a\tau\;\;\;\;(2)\]

Начальная скорость предмета – это и есть скорость аэростата в момент выпадения предмета. Но на его ускорение (после падения) никак не повлияет ускорение аэростата. Ускорение создается только силами, действующими на тело, а они разные для аэростата и предмета.

Если записать уравнение движения предмета, то оно будет выглядеть следующим образом:

\[oy:y = h + {\upsilon _0}t – \frac{{g{t^2}}}{2}\;\;\;\;(3)\]

Знак “плюс” перед слагаемым \({\upsilon _0}t\) показывает, что скорость в момент выпадения камня сонаправлена с осью \(y\), знак “минус” перед \(\frac{{g{t^2}}}{2}\) – то, что ускорение противонаправлено введенной оси.

Когда предмет долетит до земли через время \(t\), то его координата \(y\) станет равна нулю, поэтому приравняем уравнение (3) к нулю:

\[h + {\upsilon _0}t – \frac{{g{t^2}}}{2} = 0\]

Подставим в полученное выражение формулы для \(h\) (см. формулу (1)) и \(\upsilon_0\) (см. формулу (2)):

\[\frac{{a{{\tau}^2}}}{2} + a{\tau}{t} – \frac{{g{t^2}}}{2} = 0\]

Умножим обе части полученного уравнения на (-1):

\[\frac{{g{t^2}}}{2} – a\tau t – \frac{{a{\tau ^2}}}{2} = 0\]

Решим это квадратное уравнение, заменив буквенные обозначения численными данными из условия. Это действие не повлияет на ответ, поскольку все исходные данные даны в системе СИ, поэтому и ответ мы получим в ней же.

\[5t^2 – 10t – 25 = 0\]

\[t^2 – 2t – 5 = 0\]

Определим дискриминант квадратного уравнения \(D\).

\[D = 4 + 4 \cdot 5 = 24\]

\[t = \frac{{2 \pm \sqrt {24} }}{2} = 1 \pm \sqrt 6 \]

\[\left[ \begin{gathered}

t = 3,45 \; с \hfill \\

t = – 1,45 \; с \hfill \\

\end{gathered} \right.\]

Отбрасываем отрицательный корень и получаем ответ к задаче.

ответ: 3,45 с.