2.49. В момент t = 0 частица массы m начинает двигаться под действием силы F= Fo sin(wt), где Fo и w - постоянные. Сколько
времени будет двигаться частица до первой остановки? Какой путь она
пройдет за это время? Какова максимальная скорость частицы на этом
пути?​

Объяснение:

F(t) = F₀·sin (ω·t)

Первая остановка при фазе

ω·t₁ = π

t₁ = π/ω

Ускорение:

a = F / m = (F₀/m)·sin (ω·t)

Скорость - интеграл от ускорения на интервале (0; t₁)

V = ∫ a·dt = (F₀/m)· ∫ sin (ωt) dt =  F₀/(m·ω)·cos (ω·t) + С

V =  V₀ · (cos t₁ - cos 0) = V₀·(cos (π/ω) - 1)

Максимальное значение скорости:      

V₀ = F₀ / (m·ω)

Аналогично: Путь - это модуль производной от скорости в интервале (0; t₁)

S = ∫ v·dt = F₀/(m·ω)· ∫ cos (ωt) dt =  F₀/(m·ω²)·sin (ω·t) + C

S = F₀/(m·ω²) · (π - 0) =  F₀·π /(m·ω²)

Объяснение:

полное решение на фото

Добрый день! Я рад выступить в роли вашего школьного учителя и помочь вам с этим вопросом.

Для решения этой задачи мы будем использовать законы движения и принципы механики.

1. Сначала нам надо найти ускорение частицы, используя второй закон Ньютона:
F = ma,
где F - сила, a - ускорение, m - масса частицы.

В данном случае, сила F равна Fo * sin(wt), поэтому
Fo * sin(wt) = ma.

2. Далее мы можем использовать уравнение для ускорения:
a = dv/dt,
где v - скорость частицы, t - время.

Произведем интегрирование обеих сторон уравнения:
Fo * sin(wt) = m * dv/dt.

Теперь у нас есть уравнение для вычисления скорости v как функции от времени t.

3. Решим уравнение для скорости.
Для этого мы можем разделить обе стороны уравнения на m:
(Fo / m) * sin(wt) = dv/dt.

Также, мы можем использовать тригонометрическую формулу sin(a) = (exp(ia) - exp(-ia)) / (2i),
где i - мнимая единица.

Таким образом, уравнение станет:
(Fo / m) * ((exp(iwt) - exp(-iwt)) / (2i)) = dv/dt.

Теперь мы можем провести интегрирование обеих сторон уравнения:
(Fo / m) * (-1/2i) * (exp(iwt) + exp(-iwt)) = v.

Здесь мы используем свойство интегрирования экспоненты exp(ix) = (exp(ix) / i).

4. Теперь мы знаем зависимость скорости от времени, поэтому можем найти время, когда частица остановится.
Когда частица останавливается, скорость равна нулю, поэтому у нас есть уравнение:
(Fo / m) * (-1/2i) * (exp(iwt) + exp(-iwt)) = 0.

Здесь exp(iwt) + exp(-iwt) = 0, так как sin(wt) = 0 при wt = n * pi, где n - целое число.

Решим это уравнение:
exp(iwt) + exp(-iwt) = 0,
exp(iwt) = -exp(-iwt).

Мы знаем, что exp(iwt) = cos(wt) + i * sin(wt), поэтому:
cos(wt) + i * sin(wt) = -(cos(wt) - i * sin(wt)).

Из этого уравнения мы можем сделать вывод, что sin(wt) = 0 и cos(wt) = 0.

Таким образом, мы получаем два уравнения:
sin(wt) = 0,
cos(wt) = 0.

5. Решим уравнение sin(wt) = 0:
sin(wt) = 0,
wt = n * pi / 2, где n - целое число.

Отсюда получаем, что wt = pi / 2, 2pi / 2, 3pi / 2 и т.д.

Теперь можем решить это уравнение для t:
wt = pi / 2,
t = (pi / 2) / w.

Значение t будет положительным, так как время не может быть отрицательным.

6. Теперь, найдя время t, мы можем найти путь, который пройдет частица за это время.
Мы знаем, что путь s равен интегралу от скорости v по времени t:
s = ∫(v) dt.

Мы уже нашли зависимость скорости от времени:
v = (Fo / m) * (-1/2i) * (exp(iwt) + exp(-iwt)).

Проведем интегрирование:
s = ∫ ((Fo / m) * (-1/2i) * (exp(iwt) + exp(-iwt))) dt,
s = -(Fo / 2m) * (1/(2i)) * (exp(iwt) - exp(-iwt)) + C.

Используя тригонометрическую формулу, получаем:
s = (Fo / 4mw) * (exp(iwt) - exp(-iwt)) + C.

Константа C определяется начальными условиями задачи.

7. Наконец, мы можем найти максимальную скорость частицы на этом пути.
Максимальная скорость достигается в момент времени t, когда sin(wt) = 1.

Значит, sin(wt) = 1, и wt = pi / 2.

Подставим это в уравнение для скорости:
v = (Fo / m) * (-1/2i) * (exp(i * (pi / 2)) + exp(-i * (pi / 2))),
v = (Fo / m) * (-1/2i) * (i + (-i)),
v = (Fo / m) * 0 = 0.

Максимальная скорость частицы на этом пути равна нулю.

Итак, ответы на ваши вопросы:
1. Время движения частицы до первой остановки равно (pi / 2) / w.
2. За это время частица пройдет путь s = (Fo / 4mw) * (exp(iwt) - exp(-iwt)) + C.
3. Максимальная скорость частицы на этом пути равна нулю.

Надеюсь, что мой ответ был понятным и полезным. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!