10.1. Вагон массой 5-10 кг имеет четыре рессоры с жесткостью пружин по 4,5-10° Н/м. При какой скорости вагон начинает сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках? Длина рельса 25 м. Скорость выразите в километрах в час.
10.2. Электрический контур содержит последовательно соеди- нённые конденсатор с электроёмкостью 100 нФ, катушку с индук- тивностью 2,5 мГни резистор с сопротивлением 100 Ом. На сколь- ко процентов отличаются частота собственных электрических ко- лебаний в контуре и его резонансная (по напряжению) частота?
10.3. Период собственных колебаний пружинного маятника в вакууме равен 0,5 c. В вязкой среде период колебаний того же ма- Ятника стал равным 0,7 с. Определите (в герцах) резонансную ча- стоту колебаний.

10.1. Для того чтобы определить скорость, при которой вагон начинает сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках, мы можем использовать закон сохранения энергии.

Первым шагом необходимо определить полную энергию, которая сохраняется в системе. В данном случае, эта энергия будет равна механической энергии, которая складывается из потенциальной и кинетической энергии.

Потенциальная энергия в данный момент будет равна сумме потенциальных энергий каждой пружины в состоянии максимального растяжения. Потенциальная энергия пружины определяется формулой Eп = (1/2)kx^2, где k - коэффициент жесткости пружины, x - величина растяжения.

Так как у вагона четыре пружины, то общая потенциальная энергия будет равна Eп = 4 * (1/2)kx^2.

Кинетическая энергия в этом случае будет зависеть от скорости вагона и его массы. Кинетическая энергия вычисляется по формуле Ek = (1/2)mv^2, где m - масса вагона, v - скорость вагона.

Таким образом, полная механическая энергия будет равна: E = Ek + Eп = (1/2)mv^2 + 4 * (1/2)kx^2.

Когда вагон начинает сильно раскачиваться, вся его кинетическая энергия превращается в потенциальную и наоборот. Поэтому полная энергия остается постоянной.

Теперь мы можем выразить скорость вагона при начале сильного раскачивания. Для этого приравняем полную энергию в двух состояниях: до раскачивания (когда вагон движется) и в момент начала раскачивания (когда вся кинетическая энергия превратилась в потенциальную):

(1/2)mv^2 + 4 * (1/2)kx^2 = 4 * (1/2)kX^2,

где X - амплитуда раскачивания.

Из этого уравнения можно найти скорость v:

(1/2)mv^2 = 3 * (1/2)kX^2,

v^2 = 3kX^2/m,

v = sqrt(3kX^2/m).

Теперь, чтобы найти скорость в километрах в час, нам нужно привести все значения к нужным единицам измерения.

Длина рельса 25 м, поэтому амплитуду раскачивания можно представить как X = 25 м/2 = 12,5 м.

Масса вагона может быть в диапазоне от 5 до 10 кг, поэтому возьмем среднее значение: m = (5+10)/2 = 7,5 кг.

Жесткость пружин составляет от 4,5 до 10 Н/м, поэтому возьмем среднее значение: k = (4,5+10)/2 = 7,25 Н/м.

Подставляем все значения в формулу и вычисляем скорость:

v = sqrt(3 * 7,25 * (12,5)^2 / 7,5) ≈ 15,79 м/с.

Для получения скорости в километрах в час нужно умножить скорость на 3,6:

v ≈ 15,79 * 3,6 ≈ 56,84 км/ч.

Таким образом, скорость, при которой вагон начинает сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках, составляет примерно 56,84 км/ч.

10.2. Частота собственных электрических колебаний в контуре определяется формулой f0 = 1/(2π√(LC)), где L - индуктивность катушки, C - емкость конденсатора.

Резонансная частота колебаний определяется формулой fr = 1/(2π√(LC - R^2/4)), где R - сопротивление резистора.

Найдем отношение частот:

fr/f0 = (2π√(LC))/ (2π√(LC - R^2/4)).

Сокращаем общий множитель 2π:
fr/f0 = √(LC)/√(LC - R^2/4).

Подставляем значения данных: L = 2,5 мГн, C = 100 нФ, R = 100 Ом.

fr/f0 = √(2,5*100 * 10^(-6))/(√(2,5*100 * 10^(-6) - (100^2)/(4*10^2)).

Производим необходимые вычисления:

fr/f0 = √(2,5 * 100 * 10^(-6))/(√(2,5 * 100 * 10^(-6) - (100^2)/(4*10^2)) ≈ √(2,5 * 10^(-4))/√(2,5 * 10^(-4) - 1/4) ≈ √(2,5 * 10^(-4))/√(2,5 * 10^(-4) - 1/4).

Таким образом, частота собственных электрических колебаний в контуре отличается от его резонансной частоты на значение √(2,5 * 10^(-4))/√(2,5 * 10^(-4) - 1/4).

10.3. Резонансная частота колебаний пружинного маятника в вязкой среде определяется формулой fr = 1/(2π√(m/k - (d/(2m))^2)), где m - масса маятника, k - его жесткость, d - коэффициент вязкого трения.

Известно, что период колебаний пружинного маятника в вакууме равен 0,5 c. Период колебаний связан со значением частоты следующим образом: T = 1/f, где T - период, f - частота.

Зная период колебаний в вакууме, мы можем найти частоту колебаний в вакууме:

f0 = 1/T = 1/0,5 = 2 Гц.

Подставим в формулу для резонансной частоты значения и найдем резонансную частоту колебаний:

fr = 1/(2π√(m/k - (d/(2m))^2)).

Таким образом, резонансная частота колебаний в герцах будет равна fr = 1/(2π√(m/k - (d/(2m))^2).