1. Материальная точка массой т = 100 г совершает колебания по закону х = 0,1 sinπ(0,8t + 0,5). Написать уравнения для скорости и ускорения этой точки, найти максимальную силу, действующую на нее, ее полную механическую энергию. Если сказанное относится к математическому маятнику, то какова его длина? Если к грузу на пружине, то какова жесткость пружины?
2. 1. Собственные колебания в контуре происходят по закону i = 0,01 cos 1000t. Каковы параметры процесса? Какова индуктивность контура, если емкость его конденсатора 10 мкФ? Сколько энергии накоплено в контуре? Какова амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе?

Хорошо, давайте разобьем ответ на две части, отвечая на каждый из вопросов по порядку.

1. Для материальной точки массой t = 100 г, совершающей колебания по закону x = 0,1 sinπ(0,8t + 0,5), найдем уравнение для скорости и ускорения этой точки, максимальную силу, действующую на нее, и ее полную механическую энергию.

Уравнение для скорости v(t) можно получить, взяв производную от уравнения для положения x(t). Производную синуса от аргумента можно найти, умножив амплитуду на частоту и косинус от аргумента. Поэтому получаем:
v(t) = dx(t)/dt = 0,1π(0,8)cos(π(0,8t + 0,5)) = 0,08πcos(π(0,8t + 0,5))

Уравнение для ускорения a(t) можно получить, взяв производную от уравнения для скорости v(t). Производную косинуса от аргумента можно найти, умножив амплитуду на частоту и синус от аргумента. Поэтому получаем:
a(t) = dv(t)/dt = - 0,064π^2sin(π(0,8t + 0,5))

Максимальная сила F на точку будет определяться массой m точки и ее ускорением a(t). В данном случае, масса точки равна 100 г (или 0,1 кг), поэтому максимальная сила будет:
F = m * a(t) = 0,1 * (- 0,064π^2sin(π(0,8t + 0,5))) = -0,0064π^2sin(π(0,8t + 0,5))

Полная механическая энергия E точки определяется как сумма потенциальной и кинетической энергии. Потенциальная энергия U = (1/2)kx^2, где k - жесткость пружины, x - смещение точки от положения равновесия. Кинетическая энергия T = (1/2)mv^2, где m - масса точки, v - скорость точки. В данном случае, смещение точки x(t) = 0,1 sinπ(0,8t + 0,5), а скорость v(t) = 0,08πcos(π(0,8t + 0,5)). Подставляя эти значения, получаем:
E = U + T = (1/2)kx^2 + (1/2)mv^2 = (1/2)k(0,1 sinπ(0,8t + 0,5))^2 + (1/2)0,1(0,08πcos(π(0,8t + 0,5)))^2

В зависимости от того, к чему относится данное описание - к математическому маятнику или грузу на пружине - нам дано одно из значений (длина математического маятника или жесткость пружины).
Если это описание относится к математическому маятнику, то длина l маятника можно найти по формуле периода колебаний T:
T = 2πsqrt(l/g),
где g - ускорение свободного падения (около 9.8 м/с^2). Решая уравнение относительно l, получаем:
l = (T/(2π))^2 * g

Если это описание относится к грузу на пружине, то жесткость пружины k можно найти по формуле закона Гука:
F = -kx,
где F - сила, действующая на груз, x - смещение груза. В нашем случае, максимальная сила F = -0,0064π^2sin(π(0,8t + 0,5)). Подставляя эти значения, получаем:
k = -F/x = 0,0064π^2sin(π(0,8t + 0,5))/x

2. Теперь рассмотрим вопрос о собственных колебаниях в контуре, где задан закон изменения тока i = 0,01 cos 1000t. Найдем параметры процесса, индуктивность контура, энергию, накопленную в контуре и амплитуду колебаний напряжения на конденсаторе.

Закон изменения искомого параметра можно записать в виде амплитуды A и косинусной функции:
i(t) = A cos(ωt),
где A - амплитуда, ω - угловая частота. В данном случае A = 0,01 и ω = 1000.

Индуктивность контура L связана с индуктивностью обмотки и угловой частотой формулой:
ω = 1/sqrt(LC),
где C - емкость конденсатора. В данном случае C = 10 мкФ (или 10 * 10^-6 Ф). Подставляя эти значения, получаем:
L = 1/(ω^2C) = 10 * 10^-6/(1000^2) = 10 * 10^-6/10^6 = 0.00001 Гн (или 10 мкГн)

Энергия W, накопленная в контуре, связана с индуктивностью и током по формуле:
W = (1/2)Li^2,
где i - ток через контур. В данном случае i(t) = 0,01 cos 1000t. Подставляя эти значения, получаем:
W = (1/2) * 0.00001 * (0,01 cos 1000t)^2

Амплитуда U колебаний напряжения на конденсаторе может быть найдена по формуле:
U = ωL * A,
где A - амплитуда тока через контур. В данном случае A = 0,01 и ωL = 1000 * 0.00001 = 0.01. Подставляя эти значения, получаем:
U = 0.01 * 0.01 = 0.0001 В (или 0.1 мВ)