1. в двух коробках сложены ручки. в первой 20 с синими чернилами и 6 с красными, а во второй 18 с синими и 10 с красными. из второй коробки в первую переложили 3 ручки, а затем из второй взяли ручку. какова вероятность того, что это будет ручка с красными чернилами?

2. в трех группах была проведена одна и та же контрольная работа. в первой группе учится 30% студентов, во второй – 45% и в третьей 25% студентов потока. в первой группе 20% студентов выполнили работу на «неудовлетворительно», во второй – 15% «неудовлетворительных» работы, в третьей – 13% работ выполнены на «неудовлетворительно». 1) первая выбранная наудачу работа оказалась с неудовлетворительной оценкой. найти вероятность того, что эту работу написал студент из первой группы; 2) наудачу взяли работу, найти вероятность того, что она написана на «положительную» оценку?

3. в среднем непереносимость лактозы есть у 1% населения. в городе проживает 490 000 человек. найти вероятность того, что среди них будет: ровно 5 000 человек с непереносимостью лактозы; не менее 4 800 и не более 5 100 человек с непереносимостью лактозы; не менее 4 850 человек с непереносимостью лактозы

4. путешественник должен последовательно совершить 5 пересадок. вероятности несостыковки рейсов при пересадках соответственно равны 0,21, 0,16, 0,23, 0,07 и 0,13. вычислите вероятность того, что он не прибудет в пункт назначения в соответствии с планом.

5. вероятность сдать дисциплину в сессию для некоторого студента на «неудовлетворительно» равна 0,3. студент сдает 5 дисциплин. какова вероятность того, что он сдаст три из них без задолженности?

6. по статистике в некоторой гостинице на 500 мест кражи совершает 1% постояльцев. найти вероятность того, что при полной загрузке будет совершено ровно 4 кражи.

1. Пусть A - это событие "выбранная ручка с красными чернилами", B - это событие "переложили ручку из второй коробки в первую". Мы хотим найти вероятность P(A|B), то есть вероятность того, что выбранная ручка с красными чернилами, при условии, что из второй коробки переложили ручку в первую.

Имеем следующую информацию: изначально в первой коробке было 20 ручек с синими чернилами и 6 ручек с красными, а во второй коробке было 18 ручек с синими чернилами и 10 ручек с красными. Из второй коробки в первую переложили 3 ручки.

Вероятность выбрать ручку с красными чернилами из первой коробки до переложения равна 6 / (20 + 6) = 6 / 26, потому что всего в первой коробке было 6 ручек с красными чернилами.

После переложения у нас в первой коробке стало 6 + 3 = 9 ручек с красными чернилами, а всего ручек стало 26.

Вероятность выбрать ручку с красными чернилами из первой коробки после переложения равна 9 / 26, потому что всего в первой коробке осталось 9 ручек с красными чернилами.

Вероятность выбрать ручку с красными чернилами из второй коробки до переложения равна 10 / (18 + 10) = 10 / 28, потому что всего во второй коробке было 10 ручек с красными чернилами.

После переложения во второй коробке осталось 10 - 3 = 7 ручек с красными чернилами, а всего ручек стало 28.

Вероятность выбрать ручку с красными чернилами из второй коробки после переложения равна 7 / 28, потому что всего во второй коробке осталось 7 ручек с красными чернилами.

Используя формулу условной вероятности, можем найти искомую вероятность:

P(A|B) = (9 / 26) * (7 / 28) = 63 / (26 * 28) = 63 / 728 ≈ 0,0868

Таким образом, вероятность того, что выбранная ручка с красными чернилами, при условии, что из второй коробки переложили ручку в первую, составляет около 0,0868 или примерно 8,68%.

2. Пусть А - это событие "выбранная контрольная работа выполнена на «неудовлетворительно»", В1 - это событие "работа выполнена студентом из первой группы", В2 - это событие "работа выполнена студентом из второй группы", В3 - это событие "работа выполнена студентом из третьей группы".

Мы хотим найти вероятность P(В1|А), то есть вероятность того, что контрольную работу написал студент из первой группы, при условии, что работа выполнена на «неудовлетворительно».

Имеем следующую информацию: в первой группе учится 30% студентов, во второй - 45% и в третьей - 25% студентов потока. Кроме того, в первой группе 20% студентов выполненную контрольную работу на «неудовлетворительно», во второй - 15% и в третьей - 13%.

Используем формулу условной вероятности:

P(В1|А) = (P(A|В1) * P(В1)) / P(A)

P(A|В1) - вероятность выполнить работу на «неудовлетворительно», если она была написана студентом из первой группы, равна 20% или 0,2.

P(В1) - вероятность того, что контрольную работу написал студент из первой группы, равна 30% или 0,3.

P(A) - общая вероятность выполнить работу на «неудовлетворительно», равна сумме произведений вероятности выполнения работы на «неудовлетворительно» для каждой группы на вероятность выбрать работу из этой группы:

P(A) = (20% * 30%) + (15% * 45%) + (13% * 25%) = 6% + 6.75% + 3.25% = 16%

Подставляя значения в формулу:

P(В1|А) = (0.2 * 0.3) / 0.16 = 0.06 / 0.16 = 3 / 8 = 0.375

Таким образом, вероятность того, что контрольную работу написал студент из первой группы, при условии, что работа выполнена на «неудовлетворительно», составляет 0,375 или 37,5%.

3. Пусть А - это событие "человек с непереносимостью лактозы", В - это событие "найдено ровно 5 000 человек с непереносимостью лактозы", С - это событие "найдено не менее 4 800 и не более 5 100 человек с непереносимостью лактозы", D - это событие "найдено не менее 4 850 человек с непереносимостью лактозы".

Нам нужно найти три вероятности: P(В), P(С) и P(D).

Имеем следующую информацию: в среднем непереносимость лактозы есть у 1% населения города, а в городе проживает 490 000 человек.

P(A) - вероятность того, что случайно выбранный человек из города имеет непереносимость лактозы, равна 1% или 0.01.

P(В) - вероятность того, что найдено ровно 5 000 человек с непереносимостью лактозы, можно вычислить с помощью биномиального распределения:

P(В) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),

где C(n, k) - число комбинаций из n по k, p - вероятность события A, k - число успехов, n - число испытаний.

n = 490000, k = 5000, p = 0.01.

P(В) = C(490000, 5000) * (0.01)^5000 * (1-0.01)^(490000-5000)

Значение выражения C(490000, 5000) может быть рассчитано с помощью соответствующей формулы, но для наших целей мы можем использовать приближенное значение, применяя формулу Пуассона:

C(490000, 5000) = (490000^5000) / (5000! * (490000-5000)!),

где n! - факториал числа n, равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n.

Теперь мы можем вычислить значения P(В), P(С) и P(D) с помощью соответствующих формул:

P(В) = (490000! / (5000! * (490000-5000)!) * (0.01)^5000 * (1-0.01)^(490000-5000)

P(С) = P(В) + P(В+1) + ... + P(В+101),

где P(В+101) - это вероятность того, что найдено 5 100 человек с непереносимостью лактозы.

P(D) = P(В+51) + P(В+52) + ... + P(В+101),

где P(В+51) - это вероятность того, что найдено 4 850 человек с непереносимостью лактозы.

Эти значения могут быть рассчитаны численно с использованием математических программ или таблиц вероятностей биномиального распределения.

4. Чтобы вычислить вероятность того, что путешественник не прибудет в пункт назначения в соответствии с планом, нужно найти вероятность события, противоположного этому - вероятность того, что путешественник прибудет в пункт назначения в соответствии с планом.

Пусть A - это событие "путешественник прибудет в пункт назначения в соответствии с планом", B1 - это событие "первая пересадка прошла успешно", B2 - это событие "вторая пересадка прошла успешно", B3 - это событие "третья пересадка прошла успешно", B4 - это событие "четвертая пересадка прошла успешно", B5 - это событие "пятая пересадка прошла успешно".

Имеем следующие вероятности: P(A) = 1, P(B1) = 0.79, P(B2) = 0.84, P(B3) = 0.77, P(B4) = 0.93, P(B5) = 0.87.

Вероятность того, что путешественник прибудет в пункт назначения в соответствии с планом, равна произведению вероятностей успешной пересадки на каждом этапе:

P(A) = P(B1) * P(B2) * P(B3) * P(B4) * P(B5) = 0.79 * 0.84 * 0.77 * 0.93 * 0.87 ≈ 0.44

Таким образом, вероятность того, что путешественник не прибудет в пункт назначения в соответствии с планом, составляет примерно 0.44 или 44%.

5. Пусть A - это событие "студент сдал дисциплину на «неудовлетворительно»", В - это событие "студент сдал дисциплину без задолженности".

Имеем следующую информацию: вероятность сдать дисциплину на «неудовлетворительно» равна 0.3, а студент сдает 5 дисциплин.

Так как задача требует найти вероятность того, что студент сдаст ровно 3 дисциплины без задолженности, то нам необходимо составить соответствующую комбинацию вероятностей.

Воспользуемся формулой биномиального распределения:

P(В) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),

г