Задача 1.9. Для создания подпора в реке применяют плотину Шануана (рис. 1, u), представляющую собой плоский прямоугольный щит, который может вращаться вокруг горизонтальной оси О. Угол наклона щита , глубина воды перед щитом h1, а за щитом h2. Определить положение оси вращения щита Хо, при котором в случае увеличения верхнего уровня воды выше плотины щит опрокидывался бы под ее давлением.

Для решения задачи нам понадобятся знания из гидростатики. Давайте разберемся, как работает плотина Шануана.

Первое, что нужно понять, это векторы сил, действующие на щит плотины. В данной задаче на щит действуют гравитационная сила и сила давления воды. Гравитационная сила направлена вертикально вниз, и ее можно представить в виде силы тяжести:

Fг = m*g,

где m - масса щита, g - ускорение свободного падения.

Сила давления воды действует горизонтально и направлена к центру масс щита. Площадь поверхности щита, на которую действует сила давления, можно представить в виде прямоугольника со сторонами a и b:

S = a*b,

где a - длина щита, b - ширина щита.

Зная высоту воды и плотность воды (ρ), можно определить силу давления воды:

P = ρ*g*h,

где ρ - плотность воды, h - высота воды.

Теперь рассмотрим моменты сил относительно оси вращения Хо. В данном случае на щит действуют две силы - гравитационная и сила давления воды. Момент гравитационной силы относительно оси Хо равен:

Mг = Fг*d,

где d - расстояние оси Хо до центра масс щита.

Момент силы давления воды также равен:

Mд = Fд*d,

где Fд - сила давления воды.

Итак, для того чтобы щит опрокидывался под давлением воды, необходимо, чтобы момент силы давления был больше момента гравитационной силы:

Mд > Mг.

Подставляя значения, получаем:

Fд*d > Fг*d,

Поскольку расстояние от оси Хо до центра масс щита d одинаково в обоих случаях, то условие опрокидывания плотины Шануана сводится к неравенству:

Fд > Fг.

Таким образом, чтобы плотина Шануана опрокидывалась под давлением воды, необходимо, чтобы сила давления воды была больше гравитационной силы, то есть:

P*S > Fг,

Подставляя значения, получаем:

ρ*g*h1*a*b > m*g.

Из этого неравенства можно выразить условие опрокидывания плотины:

h1*a*b > m.

Теперь, чтобы определить положение оси вращения Хо, нужно рассмотреть моменты сил относительно оси Хо при изменении уровня воды. Если уровень воды увеличивается, то увеличивается и вес воды. Следовательно, момент силы давления воды также увеличивается. В то же время, момент гравитационной силы остается неизменным, поскольку масса щита не меняется. Оптимальное положение оси вращения Хо будет таким, при котором момент силы давления воды перевесит момент гравитационной силы, что обеспечит опрокидывание плотины.

Итак, чтобы определить положение оси вращения Хо, необходимо сравнить моменты силы давления и гравитационной силы. Если момент силы давления будет больше, то плотина Шануана опрокинется. Если ось Хо находится далеко от центра масс щита, то момент гравитационной силы будет больше момента силы давления и плотина не опрокинется. Поэтому оптимальное положение оси Хо можно найти экспериментально путем измерения моментов силы давления и гравитационной силы при разных положениях оси Хо.

В данном случае подробное решение задачи выходит за рамки данного ответа, поскольку оно требует проведения экспериментов и измерений.