Вероятность появления события А равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трёх раз?

решение к заданию по математике
 

Здесь p=0,4, q=0,6. Имеем:
P10(0) = q^10, P10(1) = 10pq^9, P10(2) = 45p^2q^8, P10(3) = 120p^3q^7.
Вероятность того, что событие А появится не больше трех раз, равна
Р = P10(0) + P10(1) + P10(2) + P10(3) = q^10+10pq^9+45p^2q^8+120p^3q^7≈ 0,38 .

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о биномиальном распределении вероятности.

Биномиальное распределение вероятности применяется в случае, когда у нас есть всего два исхода (A или не-A) и каждое испытание независимо от предыдущего.

Данная задача относится именно к биномиальному распределению, так как событие А может произойти или не произойти в каждом из 10 испытаний независимо.

Вероятность появления события А равна 0,4, следовательно, вероятность того, что не-А (не появления события А) равна 1 - 0,4 = 0,6.

Нам нужно найти вероятность того, что событие А появится не более трёх раз. Это означает, что событие А может произойти 0 раз, 1 раз, 2 раза или 3 раза.

Первым шагом найдем вероятность того, что событие А произойдет ровно k раз в 10 испытаниях (где k - число от 0 до 3).

Для этого воспользуемся формулой биномиального распределения вероятности:

P(k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),

где
P(k) - вероятность того, что событие А произойдет ровно k раз,
C(n, k) - количество комбинаций, которые можно получить из n испытаний при k успешных исходах (вычисляется как C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)),
p - вероятность появления события А в одном испытании (в нашем случае 0,4),
n - общее количество испытаний (в нашем случае 10).

Теперь, чтобы найти вероятность того, что событие А появится не более трёх раз, нужно сложить вероятности полученных случаев (события А произойдет 0 раз, 1 раз, 2 раза или 3 раза):

P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = C(10, 0) * 0,4^0 * 0,6^10 + C(10, 1) * 0,4^1 * 0,6^9 + C(10, 2) * 0,4^2 * 0,6^8 + C(10, 3) * 0,4^3 * 0,6^7

Вычислим каждое слагаемое:

P(0) = C(10, 0) * 0,4^0 * 0,6^10 = 1 * 1 * 0,6^10 ≈ 0,0060466
P(1) = C(10, 1) * 0,4^1 * 0,6^9 = 10 * 0,4 * 0,6^9 ≈ 0,0403108
P(2) = C(10, 2) * 0,4^2 * 0,6^8 = 45 * 0,4^2 * 0,6^8 ≈ 0,120932
P(3) = C(10, 3) * 0,4^3 * 0,6^7 = 120 * 0,4^3 * 0,6^7 ≈ 0,214990

Теперь сложим все случаи:

P(0) + P(1) + P(2) + P(3) ≈ 0,0060466 + 0,0403108 + 0,120932 + 0,214990 ≈ 0,3822794

Следовательно, вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трёх раз составляет примерно 0,3823 или 38,23%.