В треугольнике ABC проведена биссектриса AM, к которой проведен серединный перпендикуляр, пересекающий прямую АВ в точке Е. Докажите, что ЕМ || АС.

ответ к заданию по геометрии

 

Чтобы доказать, что EM || AC, мы воспользуемся следующими фактами:

1. В треугольнике ABC, если биссектриса AM проведена из вершины A, она делит противоположную сторону BC на две отрезка, пропорциональных боковым сторонам AB и AC.
Это можно записать в виде: BM/CM = AB/AC.

2. Серединный перпендикуляр к стороне BC, проходящий через точку M, делит сторону BC пополам.
Это означает, что BM = CM.

3. Если в треугольнике две параллельные стороны пересекают третью сторону, то они создают пропорциональные отрезки на этой стороне.
Это можно записать в виде: AB/BE = AC/CE.

Теперь приступим к решению:

1. Рассмотрим треугольник ABC и биссектрису AM.
2. Используя факт 1, мы имеем: BM/CM = AB/AC. Но также, из факта 2, BM = CM. Поэтому, BM/CM = 1.
3. Заметим, что треугольник ABE и треугольник ACE имеют общую высоту (т.е. высоту, опущенную из вершины A на стороны BE и CE).
Поэтому, отношение площадей этих треугольников будет равно отношению их оснований (т.е. отношению длин сторон AB и AC).
Это означает, что AB/BE = AC/CE, что можно записать как AB/AC = BE/CE.
4. Мы знаем из факта 3, что AB/BE = AC/CE. Сравнивая это с AB/AC = BE/CE, мы видим, что AB/AC = AB/BE = AC/CE.
Это означает, что треугольник ABE и треугольник ACE подобны.
5. Из подобия треугольников ABE и ACE следует, что углы AME и AEC равны, так как они соответственные углы треугольников.
6. Так как углы AME и AEC равны, то прямая EM || AC по определению параллельных прямых.

Таким образом, мы доказали, что EM || AC с использованием фактов о биссектрисе и серединном перпендикуляре в треугольнике ABC.