В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4, а боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. Найдите

решение задания по геометрии
 

Чтобы решить задачу, нам понадобится использовать факт, что в правильной треугольной пирамиде боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Также нам понадобится знание о соотношении сторон в равнобедренном треугольнике.

По определению, в правильной треугольной пирамиде у всех вершин основания равны между собой и все боковые грани равны между собой.

Сначала найдем высоту треугольной пирамиды. Высота - это отрезок, соединяющий вершину пирамиды с серединой основания.

Предположим, что вершина пирамиды - точка A, середина основания - точка M, а сторона основания равна 4. Треугольник AMB будет равнобедренным, где AB = 4 (сторона основания).

Чтобы найти высоту пирамиды, необходимо найти высоту треугольника AMB, которая является перпендикуляром, проведенным из точки M на сторону AB.

В равнобедренном треугольнике найдем половину основания как AM = AB/2 = 4/2 = 2.

Теперь у нас есть сторона треугольника AMB, сделаем его равнобедренным и добавим перпендикуляр из точки M на сторону AB. Полученный треугольник AMB будет равносторонним треугольником, так как угол AMB = 60° (боковые грани наклонены к основанию под углом 60°).

В равностороннем треугольнике все стороны и высота совпадают, поэтому высота треугольника AMB равна MB = AB * sin(60°) = 4 * sin(60°).

Здесь мы используем свойство синуса прямоугольного треугольника:

sin(60°) = √3 / 2.

Подставим найденное значение и посчитаем:

MB = 4 * √3 / 2 = 2 * √3.

Таким образом, высота треугольной пирамиды равна 2 * √3.

Теперь мы можем найти объем пирамиды, используя формулу:

V = (1/3) * S * h,

где V - объем пирамиды, S - площадь основания и h - высота пирамиды.

Поскольку у нас правильная треугольная пирамида, площадь основания равна:

S = (√3 / 4) * a^2,

где a - сторона треугольника.

Подставим значения в формулу и посчитаем:

S = (√3 / 4) * 4^2 = (√3 / 4) * 16 = 4√3.

Теперь можем найти объем:

V = (1/3) * 4√3 * 2√3 = (4/3) * 4 * 3 = 16.

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды с такими параметрами равен 16.