В каждой ячейке доска размером 5x5 клеток сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки

ответ:

Представим доску в виде поочередно расположенных черных и белых клеток. Поскольку общее количество клеток доски 5x5 клеток нечетная, то черных и белых клеток не может быть поровну. Пусть для определенности черных клеток будет больше. 7 жуков, которые сидят на белых клетках, меньше, чем тех, которые сидят на черных клетках. Поэтому хотя бы одна из черных клеток при переползании жуков остается пустой, поскольку на черные клетки переползают только жуки, которые сидят на белых клетках. Заметим при этом, что на одной клетке может оказаться не менее двух жуки, поскольку всего есть 25 жуков.