В каждом из 700 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие А происходит меньше чем 270 и больше чем 230 раз.

В каждом из 700 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие A происходит:
а)  точно 270 раз;
б)  не меньше чем 230 и не больше чем 270 раз;
в)  не меньше чем 270 раз.

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение.

Вероятность события А в каждом испытании составляет 0,35, а количество испытаний равно 700. Нам нужно найти вероятность того, что событие А произойдет меньше, чем 270 и больше, чем 230 раз.

1. Найдем вероятность того, что событие А произойдет ровно 270 раз в 700 испытаниях.
По формуле биномиального распределения, вероятность такого события вычисляется по формуле:
P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),
где n - количество испытаний, k - количество успешных событий, p - вероятность успешного события.

В данном случае n = 700, k = 270, p = 0,35.
Воспользуемся формулой и найдем значение P(X=270):

P(X=270) = C(700, 270) * 0,35^270 * (1-0,35)^(700-270)

Чтобы вычислить сочетания (C(n, k)), мы можем использовать формулу:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!),
где n! - факториал числа n (произведение всех натуральных чисел от 1 до n).

Возможно, в реальных условиях поиск факториала будет весьма сложной задачей, однако для данного расчета мы можем воспользоваться калькулятором или программой, которые часто предлагают функцию для расчета числа сочетаний.

2. Аналогично, мы должны найти вероятность того, что событие А произойдет ровно 230 раз в 700 испытаниях.
Воспользуемся формулой и найдем значение P(X=230):

P(X=230) = C(700, 230) * 0,35^230 * (1-0,35)^(700-230)

3. Теперь, чтобы найти вероятность того, что событие А происходит меньше, чем 270 раз и больше, чем 230 раз, нам нужно найти сумму вероятностей для всех значений X от 231 до 269 включительно.
Мы можем использовать формулу суммы биномиальных коэффициентов для нахождения этой вероятности:

P(231 <= X <= 269) = sum(P(X=k), от k=231 до k=269)

Эту сумму можно вычислить, просто сложив все значения P(X=k) для k от 231 до 269.

Итак, нам нужно вычислить:

P(X=231) + P(X=232) + ... + P(X=269)

Подставим значения из шагов 1 и 2 в эту формулу и вычислим значение.

Например, для P(X=231):

P(X=231) = C(700, 231) * 0,35^231 * (1-0,35)^(700-231)

Проделаем аналогичные расчеты для всех значений k от 231 до 269 и сложим полученные значения, чтобы получить вероятность события А происходит меньше, чем 270 и больше, чем 230 раз.

Например, результирующая вероятность может быть записана следующим образом:

P(231 <= X <= 269) = P(X=231) + P(X=232) + ... + P(X=269)