Угол между векторами а и b равен 120°, а =5, b= 6. Найдите 1) а *b; 2) (2a + 3b)a.

решение задания по геометрии
 

Добрый день! Большое спасибо за вопрос.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о скалярном произведении векторов, а также о преобразовании векторов с помощью числовых коэффициентов. Давайте рассмотрим каждую часть задачи по порядку.

1) Чтобы найти скалярное произведение векторов a и b (обозначается как а * b), мы должны перемножить соответствующие координаты этих векторов и сложить полученные произведения. В данном случае у нас есть значения векторов a = 5 и b = 6, а также известно, что угол между ними равен 120°.

Скалярное произведение векторов а и b вычисляется по формуле:

а * b = |a| * |b| * cos(θ),

где |a| и |b| обозначают длины векторов, а θ - угол между ними.

Так как у нас известны значения векторов a и b, мы можем вычислить их длины:

|a| = √(aₓ² + aᵧ²),
|b| = √(bₓ² + bᵧ²),

где aₓ, aᵧ - координаты вектора a, а bₓ, bᵧ - координаты вектора b.

Для вектора a с координатами aₓ = 5 и aᵧ = 0 длина будет равна:

|a| = √(5² + 0²) = √25 = 5.

Для вектора b с координатами bₓ = 6*cos(120°) = 6*(-0.5) = -3 и bᵧ = 6*sin(120°) = 6*(√3/2) = 6*√3/2 = 3√3 длина будет равна:

|b| = √((-3)² + (3√3)²) = √(9 + 27) = √36 = 6.

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов a и b:

а * b = |a| * |b| * cos(θ) = 5 * 6 * cos(120°).

Значение cos(120°) равно -0.5 (это можно найти в таблице значений тригонометрических функций или воспользоваться калькулятором). Подставим это значение:

а * b = 5 * 6 * (-0.5) = -15.

Таким образом, скалярное произведение векторов a и b равно -15.

2) Теперь рассмотрим выражение (2a + 3b)a.

Для начала, преобразуем выражение (2a + 3b)a следующим образом:

(2a + 3b)a = 2(a * a) + 3(b * a).

Здесь мы использовали свойство дистрибутивности, которое позволяет перемножать каждый элемент суммы на число перед ней.

Затем, мы можем вычислить значения скалярного произведения векторов a и a, а также b и a, как мы это делали в предыдущей части задачи.

Для a и a:

|a| = √(aₓ² + aᵧ²) = √(5² + 0²) = 5,
cos(θ) = cos(0°) = 1.

(a * a) = |a| * |a| * cos(θ) = 5 * 5 * 1 = 25.

Для b и a:

|b| = √((-3)² + (3√3)²) = 6,
cos(θ) = cos(120°) = -0.5.

(b * a) = |b| * |a| * cos(θ) = 6 * 5 * (-0.5) = -15.

Теперь мы можем подставить полученные значения обратно в исходное выражение:

(2a + 3b)a = 2(a * a) + 3(b * a) = 2 * 25 + 3 * (-15).

Вычислим это:

(2a + 3b)a = 2 * 25 + 3 * (-15) = 50 - 45 = 5.

Таким образом, значение выражения (2a + 3b)a равно 5.

Надеюсь, что данное объяснение помогло вам понять, как решать эту задачу. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!