Теория вероятностей (Дискетные случайные величины решить
1) Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты, при каждом из которых герб выпадает с вероятностью 0,5. Для случайного числа появлений герба построить ряд распределения, многоугольник и функцию распределения.

2) Мишень состоит из круга №1 и двух концентрических колец с номерами 2 и 3. Попадание в круг №1 дает 10 очков, в кольцо №2 дает 5 очков, в кольцо №3 дает -1 очко. Вероятности попадания в круг №1 и кольца №2 и №3 соответственно равны 0,5; 0,3; 0,2. Построить ряд распределения для случайной суммы выбитых очков в результате трех попаданий. Построить многоугольник распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.

3)На пути движения автомобиля К=8 светофоров. Каждый из них с вероятностью 0,5 разрешает либо запрещает дальнейшее движение. Найти ряд распределения и построить многоугольник распределения числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. Найти числовые характеристики данной случайной величины.

Школьнику

1) Чтобы решить эту задачу, нам нужно рассмотреть все возможные исходы бросания монеты и вычислить вероятность каждого исхода.

Итак, у нас есть три независимых броска монеты, и герб может выпасть с вероятностью 0,5 в каждом броске.

Сначала построим ряд распределения. Для этого создадим таблицу, где будут отображены все возможные значения случайной величины (числа появлений герба) и соответствующие вероятности этих значений.

| Число появлений герба | Вероятность |
|-----------------------|-------------|
| 0 | 0,125 |
| 1 | 0,375 |
| 2 | 0,375 |
| 3 | 0,125 |

Теперь построим многоугольник распределения. Для этого на горизонтальной оси откладываем значения случайной величины (числа появлений герба), а на вертикальной оси - соответствующие вероятности. Затем соединяем полученные точки линиями.

Следующим шагом посчитаем функцию распределения. Она показывает, какая вероятность получить случайную величину не больше определенного значения. Для этого сложим все вероятности до данного значения.

| Число появлений герба | Функция распределения |
|-----------------------|------------|
| 0 | 0,125 |
| 1 | 0,5 |
| 2 | 0,875 |
| 3 | 1 |

Таким образом, мы получили ряд распределения, многоугольник распределения и функцию распределения для случайного числа появлений герба.

2) В этой задаче нам нужно построить ряд распределения для случайной суммы выбитых очков в результате трех попаданий в мишень с разными вероятностями.

Сначала создадим таблицу, где будут отображены все возможные значения случайной величины (сумма выбитых очков) и соответствующие вероятности этих значений.

| Сумма выбитых очков | Вероятность |
|-----------------------|-------------|
| -3 | 0,02 |
| -1 | 0,04 |
| 2 | 0,15 |
| 4 | 0,25 |
| 5 | 0,15 |
| 10 | 0,39 |

Теперь построим многоугольник распределения, аналогично как в предыдущей задаче. Откладываем значения случайной величины (суммы выбитых очков) на горизонтальной оси, а соответствующие вероятности на вертикальной оси и соединяем точки линиями.

Для расчета математического ожидания нужно умножить каждое значение случайной величины на соответствующую вероятность и сложить все полученные произведения. В данном случае получим:

Математическое ожидание = (-3 * 0,02) + (-1 * 0,04) + (2 * 0,15) + (4 * 0,25) + (5 * 0,15) + (10 * 0,39) = 5,35

Для расчета дисперсии нужно умножить каждое квадратное отклонение от математического ожидания (значение случайной величины минус математическое ожидание) в квадрате на соответствующую вероятность и сложить все полученные произведения. В данном случае получим:

Дисперсия = ((-3 - 5,35)^2 * 0,02) + ((-1 - 5,35)^2 * 0,04) + ((2 - 5,35)^2 * 0,15) + ((4 - 5,35)^2 * 0,25) + ((5 - 5,35)^2 * 0,15) + ((10 - 5,35)^2 * 0,39) = 8,8675

Таким образом, мы получили ряд распределения, многоугольник распределения, математическое ожидание и дисперсию для случайной суммы выбитых очков.

3) В задаче о светофорах нужно построить ряд распределения числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки.

Сначала создадим таблицу, где будут отображены все возможные значения случайной величины (число пройденных светофоров) и соответствующие вероятности этих значений.

| Число пройденных светофоров | Вероятность |
|-----------------------------|-------------|
| 0 | 0,5 |
| 1 | 0,25 |
| 2 | 0,125 |
| 3 | 0,0625 |
| 4 | 0,03125 |
| 5 | 0,015625 |

Теперь построим многоугольник распределения, откладывая значения случайной величины (числа пройденных светофоров) на горизонтальной оси и соответствующие вероятности на вертикальной оси, затем соединяем точки линиями.

Числовые характеристики данной случайной величины будут следующими:

Математическое ожидание - это среднее значение случайной величины. Для его расчета нужно умножить каждое значение случайной величины на соответствующую вероятность и сложить все полученные произведения. В данном случае получим:

Математическое ожидание = (0 * 0,5) + (1 * 0,25) + (2 * 0,125) + (3 * 0,0625) + (4 * 0,03125) + (5 * 0,015625) = 0,96875

Дисперсия - это мера разброса значений случайной величины относительно математического ожидания. Для её расчета нужно умножить каждое квадратное отклонение от математического ожидания (значение случайной величины минус математическое ожидание) в квадрате на соответствующую вероятность и сложить все полученные произведения. В данном случае получим:

Дисперсия = ((0 - 0,96875)^2 * 0,5) + ((1 - 0,96875 )^2 * 0,25) + ((2 - 0,96875)^2 * 0,125) + ((3 - 0,96875)^2 * 0,0625) + ((4 - 0,96875)^2 * 0,03125) + ((5 - 0,96875)^2 * 0,015625) = 1,6914

Таким образом, мы построили ряд распределения, многоугольник распределения и найди числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсию) для случайного числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки.