Театр в маленьком городке насчитывал сто мест. В день премьеры спектакля все билеты были проданы на общую сумму в 10 тысяч рублей. Билеты

Ответ: 11 мужчин, 19 женщин и 70 детей.
Решение. Взрослый платит за билет не менее 200 рублей, значит, их было не более 50. Поэтому дети были, и взрослым продали билетов меньше чем на 10 000 руб, то есть взрослых меньше 50. Общая сумма и заплаченное взрослыми кратны 100 руб, значит, заплаченное за детей тоже кратно 100, откуда число детей кратно 10. Заметим, что все зрители не могут быть детьми. Пусть было т мужчин, z женщин и 10d детей, где d от 6 до 9. Тогда m + z + 10d = 100 и 500m + 200z + 100d = 10 000, или, что равносильно,
 20d = 200,  5m + 2z + d = 100.
Вычтя из второго равенства первое, получим Зт — 19d = —100, или Зт — 18d + 99 = d — 1. Левая часть кратна 3 (все слагаемые делятся на 3), поэтому правая тоже, то есть d —1 делится на 3. Значит, подходит только d — 7, откуда т —11, z = 100 — 11 — 7-10 = 19.