Сколько разных пар непересекающихся подмножеств имеет множество, состоящее из 2012 элементов?

Найдем количество различных пар непересекающихся подмножеств при условии, что в паре выделены первое и второе подмножества. Для каждого из 2012 элементов есть 3 возможности: его можно включить в первое подмножество, или включить во второе подмножество, или не включать ни в одно из них. Поэтому количество указанных пар равно 3²⁰¹². Среди них есть одна пара, в которой оба подмножества пусты. Оставшиеся 3²⁰¹²-1 пары, в свою очередь, разбиваются на двойки совпадающих пар, если разрешить переставлять в парах местами первое и второе подмножества. Таким образом, существует (3²⁰¹²-1)/2 (неупорядоченных) пар непересекающихся подмножеств, из которых хотя бы одно не пусто.

Всего же (3²⁰¹²-1)/2+1=(3²⁰¹²+1)/2 различных пар подмножеств, удовлетворяющих условию задачи.

ответ. (3²⁰¹²+1)/2.