SABC — правильная треугольная пирамида. Точка O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Докажите, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABC.

Ответ в виде картинки приложен к ответу

Для доказательства того, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABC, мы должны воспользоваться свойствами треугольной пирамиды и медиан треугольника.

1. Из свойств треугольной пирамиды SABC мы знаем, что медиана треугольника ABC, проходящая через точку O, будет содержаться в плоскости ABC. Это связано с тем, что медиана делит сторону треугольника пополам и соединяет вершину треугольника с серединой соответствующей стороны. Таким образом, точка O лежит в плоскости ABC.

2. Чтобы доказать, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABC, мы должны показать, что векторное произведение вектора, параллельного прямой SO, и нормали к плоскости ABC равно нулю.

3. Обозначим векторы SA, SB и SC как A, B и C соответственно. Поскольку точка O — точка пересечения медиан треугольника ABC, можно сказать, что вектор AO является полусуммой векторов B и C. То есть, AO = (B + C) / 2.

4. Теперь рассмотрим векторное произведение вектора SO и нормали к плоскости ABC. Пусть вектор OS будет обозначаться буквой D. Тогда мы можем записать это векторное произведение как D x (B - C), где x обозначает векторное произведение.

5. Теперь подставим значения векторов. Вектор D представляет собой вектор SO и может быть записан как D = S - O. Вектор B - C представляет разность векторов B и C.

6. Теперь выполним векторное произведение D x (B - C) и убедимся, что его результат равен нулю. Для этого раскроем векторное произведение в координатной форме и проверим, равны ли все его компоненты нулю.

7. При раскрытии векторного произведения и сравнении компонент получаем:
- D x (B - C) = (S - O) x (B - C)
= (S - O) x B - (S - O) x C
= S x B - O x B - S x C + O x C

8. Заметим, что так как точка O находится на медиане треугольника ABC, поэтому векторы O x B и O x C будут равными и противоположно направленными, то есть O x B = -O x C. Таким образом, формула D x (B - C) будет принимать вид:
- D x (B - C) = S x B - O x B - S x C + O x C
= S x B + S x C - O x B - O x C
= S x B + S x C - O x B + O x B (поскольку O x B = -O x C)
= S x B + S x C

9. Теперь у нас два слагаемых: S x B и S x C. Рассмотрим каждое из них отдельно.

10. Сначала рассмотрим векторное произведение S x B. Если прямая SO перпендикулярна плоскости ABC, то эти два вектора будут принадлежать плоскости ABC. Если вектор S находится в плоскости ABC, то его векторное произведение с любым вектором, лежащим в этой плоскости, будет равно нулю. То есть, S x B = 0.

11. Аналогично, для S x C. Если прямая SO перпендикулярна плоскости ABC, то S и C также будут находиться в этой плоскости. Поэтому S x C = 0.

12. Таким образом, мы получили: - D x (B - C) = S x B + S x C = 0 + 0 = 0.

13. Из полученного результата видно, что векторное произведение D x (B - C) равно нулю. Это означает, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABC.

Таким образом, мы доказали, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABC, используя свойства треугольной пирамиды и медиан треугольника.