Про семь чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из чисел делится на 5.

Обозначим данные числа a1, a2, …, a7. По условию каждая из сумм a1+a3+a4+a5+a6+a7 и a2+a3+a4+a5+a6+a7 делится на 5, следовательно, их разность a1-a2 будет делиться на 5; это означает, что числа a1 и a2 имеют одинаковые остатки от деления на 5. Рассматривая разности других сумм, аналогично устанавливаем, что все заданные числа имеют одинаковые остатки от деления на 5. Пусть это остаток r (0≤r<5). Тогда любая из рассматриваемых сумм имеет при делении на 5 тот же остаток, что и 6r, а поскольку по условию он равен 0, должно быть r=0.