Окружности радиусов 45 и 90 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD

Рассмотрим трапецию ACO1O2
Данная трапеция прямоугольная, т.к. радиусы перпендикулярны касательной AC (по свойству касательной).
Проведем O2K параллельно AC, O2K=AC, т.к. ACKO2 - прямоугольник. По теореме Пифагора:
(O1O2)^2=(O2K)^2+(KO1)^2
(R+r)^2=(O2K)^2+(R-r)^2
(90+45)^2=(O2K)^2+(90-45)^2
18225=(O2K)^2+2025
(O2K)^2=16200
O2K=10√162=AC
Рассмотрим треугольники OAO2 и OCO1 (cм. Рис.1).
∠AOO2 - общий
∠OAO2=∠OCO1=90°
Следовательно эти треугольники подобны (по первому признаку подобия треугольников).
Тогда, R/r=OC/OA
90/45=OC/OA=(OA+AC)/OA
2*OA=OA+10√162
OA=10√162
Из подобия этих же треугольников:
R/r=O10/O2O
R/r=(O2O+R+r)/O2O
90/45=(O2O+90+45)/O2O
2(O2O)=O2O+135
O2O=135
Обозначим угол ∠AOO2 как α
cosα=OA/OO2=10√162/135
Посмотрим на треугольники OAE и OCF.
Они прямоугольные по второму свойству хорды.
Тогда для треугольника OAE:
cosα=OE/OA
OE=OA*cosα=10√162*10√162/135=120
Для треугольника OCF:
cosα=OF/OC
OF=OC*cosα=(OA+AC)*cosα=(10√162+10√162)*10√162/135=20√162*10√162/135=200*162/135=240
EF=OF-OE=240-120=120
Ответ: EF=120