Найдите координаты вектора а, если α ⊥ β и b {1; -3}, |а| = √10 и угол между вектором а и осью Ох острый.

решение задания по геометрии
 

Добрый день! Давайте решим эту задачу.

У нас есть следующая информация:
- Вектор b {1; -3}
- Модуль (длина) вектора а равен √10
- Угол между вектором а и осью Ох острый
- Векторы α и β перпендикулярны друг другу

Чтобы найти координаты вектора а, нам нужно прежде всего понять, что означает перпендикулярность векторов α и β. Это означает, что скалярное произведение векторов α и β равно нулю.

Мы можем записать это следующим образом:
α • β = 0

Теперь давайте найдем скалярное произведение векторов α и β:
α • β = αx * βx + αy * βy

Мы знаем, что координаты вектора β равны {1; -3}. Поэтому мы можем заменить значения в формуле:
α • β = αx * 1 + αy * (-3)

Учитывая, что α и β перпендикулярны друг другу, мы можем установить, что α • β = 0. Следовательно:

αx * 1 + αy * (-3) = 0

Теперь давайте решим это уравнение относительно αx. Выразим αx через αy:

αx = 3 * αy

Теперь у нас есть выражение для αx.

Однако, у нас еще есть информация о модуле вектора а. Мы знаем, что |а| = √10. Мы также знаем, что модуль вектора а равен квадратному корню из суммы квадратов его координат:

|а| = √(αx^2 + αy^2)

Мы можем подставить выражение для αx из предыдущего шага:

√10 = √((3 * αy)^2 + αy^2)

Раскроем скобки:

√10 = √(9 * αy^2 + αy^2)

√10 = √(10 * αy^2)

Теперь нам нужно избавиться от корня, возведя обе части уравнения в квадрат:

10 = 10 * αy^2

Теперь можно сократить на 10:

1 = αy^2

√1 = αy

А также:

-1 = αy

Мы получили два значения для αy: √1 и -√1 (то есть 1 и -1).

Теперь, используя полученные значения αy, мы можем найти соответствующие значения αx, используя ранее найденное выражение:

αx = 3 * αy

Когда αy = 1, αx = 3 * 1 = 3
Когда αy = -1, αx = 3 * (-1) = -3

Таким образом, у нас есть две пары значений для αx и αy: (3; 1) и (-3; -1). Это координаты вектора а.

Таким образом, ответ на задачу "Найдите координаты вектора а, если α ⊥ β и b {1; -3}, |а| = √10 и угол между вектором а и осью Ох острый" - (3; 1) и (-3; -1).