Над озерами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озерах. Сколько было гусей?

Ответ: 127 гусей.
Решение 1 Запустим процесс задом наперед. Тогда от каждого озера к стае добавлялось сначала полгуся, а затем стая удваивалась. При этом удваивалась и стая без полгуся, и полгуся. Фактически, удваивалась стая, а потом добавлялся целый гусь: так считать удобнее. Пронумеруем озера с конца. После первого озера стало 2-0+1 = 1 гусь, после второго 2-1 + 1 = 3 гуся, и так еще 5 раз: 2-3 + 1 = 7, 2-7 + 1 = 15, 2-15 + 1 = 31, 2-31 + 1 = 63, 2-63+ 1 = 127.
Решение 2. Пусть был гусиный косяк, состоящий из нашей стаи серых гусей и еще белого гуся. Тогда полкосяка состоит из половины стаи и половинки белого гуся. Как раз столько и садилось. После 7 озер от косяка остался только один белый гусь. Значит, вначале в косяке было 1 • 27 = 128 гусей, из них в стае —127.