На рисунку 147 прямі m i n - серединні перпендикуляри стopін АВ i АС трикутника ABC. Доведіть, що точка О рівновіддалена від ycix вершин даного трикутника

Доведения:
Нехай ∆АВС дано за умовою. т. N - середина сторони АС, т. М - середина сторони АВ.
Розглянемо ∆AON i ∆CON.
1) AN = NC (т. N - середина АС);
2) ∟ONA = ∟ONC = 90° (ON ┴ AC);
3) ON - спільна.
Отже, ∆AON = ∆CON за I ознакою, тоді АО = ОС.
Розглянемо ∆АОМ i ∆ВОМ.
1) AM = MB (т. М - середина АВ);
2) ∟OMA = ∟OMB = 90° (ОМ ┴ АВ);
3) ОМ - спільна.
Отже, ∆АОМ = ∆ВОМ за I ознакою, тоді АО = ОВ.
Так як АО = ОС i АО = ОВ, то АО = ОВ = ОС.