На рисунке 57 хорды CD и СН стягивают дуги в 90°. Радиус окружности равен R. Найдите площадь заштрихованной фигуры

решение задания по геометрии
 

Для решения этой задачи, нам необходимо разбить фигуру на две части - сектор и прямоугольник, и затем найти сумму их площадей.

1. Сначала найдем площадь сектора окружности.
Сектор - это часть окружности, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности.
Угол между радиусами CD и CH равен 90°, так как стягивающие дуги в 90°. Также, известно, что радиус окружности равен R.
Формула для нахождения площади сектора: S = (угол / 360°) * π * R^2
Угол здесь равен 90°, поэтому площадь сектора равна S1 = (90/360) * π * R^2 = (1/4) * π * R^2.

2. Теперь найдем площадь прямоугольника.
Прямоугольник можно представить как противоположные с углом 90° стороны, которые являются хордами SD и AD.
Для нахождения площади прямоугольника умножим длину одной стороны на длину другой: S2 = SD * AD.

Для нахождения длины стороны SD, воспользуемся теоремой Пифагора.
В треугольнике SDC, где SC - радиус окружности, DC - отрезок, параллельный оси X, а SD - отрезок, параллельный оси Y, воспользуемся теоремой Пифагора:
SD^2 = SC^2 - CD^2 = R^2 - (R/2)^2 = (3/4) * R^2.
Таким образом, длина стороны SD равна SD = sqrt((3/4) * R^2) = (sqrt(3)/2) * R.

Длина стороны AD совпадает с диаметром окружности и равна 2R.
Таким образом, площадь прямоугольника равна S2 = SD * AD = (sqrt(3)/2) * R * 2R = sqrt(3) * R^2.

3. Суммируем площади сектора и прямоугольника для получения итоговой площади заштрихованной фигуры:
S = S1 + S2 = (1/4) * π * R^2 + sqrt(3) * R^2.

Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна (1/4) * π * R^2 + sqrt(3) * R^2.